什么是Zero Forcing 技術(shù)？

在上一篇文章中，我們對(duì)通信信道模型有了初步了解。一些常用的模型比如ZF、MMSE等算法，被用于信道估計(jì)與均衡。

在這一篇文章我將解釋迫零（zero-forcing，ZF）技術(shù)。它在概念上和數(shù)學(xué)上都可能是一種最簡(jiǎn)單的模型，但它有一個(gè)嚴(yán)重的缺陷，叫做“噪聲放大”。但在很多情況下，這些技術(shù)是為了簡(jiǎn)單而使用的，就學(xué)習(xí)信道建模理論而言，這是一個(gè)很好的學(xué)習(xí)起點(diǎn)。(你可能已經(jīng)有問題了，比如“為什么它被稱為迫零?” 迫零的實(shí)際意義是什么?為什么這項(xiàng)技術(shù)會(huì)導(dǎo)致噪音放大?把這些問題都記在腦子里。有些問題會(huì)在數(shù)學(xué)過程中自動(dòng)得到解答)。

我將從最理想/最簡(jiǎn)單的情況開始，擴(kuò)展到更復(fù)雜但更現(xiàn)實(shí)的模型，如下所示。

l 無(wú)噪聲相同Tx和Rx天線數(shù)

l 有噪聲相同Tx和Rx天線數(shù)

l 無(wú)噪聲不同Tx和Rx天線數(shù)

l 有噪聲不同Tx和Rx天線數(shù)

一、無(wú)噪聲相同Tx和Rx天線數(shù)

有許多實(shí)際情況下使用相同數(shù)量的Tx天線和相同數(shù)量的Rx天線，但很少有情況下沒有噪聲。但是我會(huì)從簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)過程開始，讓它更容易理解。

讓我們從最簡(jiǎn)單和幾乎理想的情況開始，Tx天線的數(shù)量與Rx天線的數(shù)量相同，并且在信道中沒有噪聲。更具體地說，我們假設(shè)是2 × 2 MIMO的情況。這意味著兩個(gè)Tx天線和兩個(gè)Rx天線。

在這種情況下，信道模型可以如下描述(如果您不熟悉該表達(dá)式是如何產(chǎn)生的，請(qǐng)參閱信道模型概述部分)。需要注意的重要一點(diǎn)是在這種情況下通道矩陣H是一個(gè)方陣。此外，你會(huì)注意到方程中沒有噪聲項(xiàng)，因?yàn)槲覀兗僭O(shè)它們是無(wú)噪聲的。

這是這個(gè)信道的系統(tǒng)方程并且是信道模型的終點(diǎn)。足夠簡(jiǎn)單嗎？

現(xiàn)在讓我們假設(shè)我們需要找到從這個(gè)信道模型找出傳輸數(shù)據(jù)的方法。這是接收器設(shè)計(jì)的目標(biāo)。

假設(shè)我們已經(jīng)有了關(guān)于信道矩陣(H)的所有信息，現(xiàn)在的問題就是用x來解下面的方程，也就是在下面的方程中求出x。(你可能會(huì)問我們?cè)趺粗馈?/span>H”，但我們就假設(shè)它已經(jīng)給我們了。這是另一個(gè)大的主題，應(yīng)該作為一個(gè)單獨(dú)的頁(yè)面來涵蓋)。

由于Tx和Rx天線的數(shù)目相同，H為方陣。從上面得到“x”很簡(jiǎn)單，就像你可能從初等線性代數(shù)課程中學(xué)到的那樣。

本案例的解決過程可以總結(jié)如下。

它可能看起來很簡(jiǎn)單，但在某些特殊情況下，可以用這種方法解決問題。條件總結(jié)如下。

二、有噪聲相同Tx和Rx天線數(shù)

現(xiàn)在讓我們考慮添加了Noise的情況。在這種情況下，由于噪聲項(xiàng)，我們不能直接求解方程。噪聲項(xiàng)只能通過統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行估計(jì)，這個(gè)估計(jì)過程可以描述如下。

最后的方程會(huì)變成這樣。

三、無(wú)噪聲不同Tx和Rx天線數(shù)

現(xiàn)在我們來看一個(gè)非方陣信道矩陣的例子。我們將研究以下案例作為示例。如你所見，我們有兩個(gè)發(fā)射天線和四個(gè)接收天線，這意味著發(fā)射天線和接收天線的數(shù)量是不一樣的。

到目前為止，您應(yīng)該能夠?yàn)榻o定的任何配置構(gòu)建信道矩陣。如果沒有，請(qǐng)嘗試更多的實(shí)踐，為各種發(fā)射機(jī)和接收機(jī)組合創(chuàng)建一個(gè)信道矩陣。這種情況下的信道矩陣如下。

如你所見，信道矩陣不是方形的。我們有兩個(gè)變量(未知數(shù))我們要算出來，但我們有四個(gè)方程。這就是線性代數(shù)課上所謂的"過定"情況。在這種情況下，我們不能有任何解析解(精確解)，因?yàn)樾诺谰仃嚨?strong>逆不存在。

在這種情況下，您不能得到任何精確解(精確答案)，但是您可以通過各種技術(shù)得到近似答案。在這種情況下，我們使用的常見技術(shù)之一是“最小二乘誤差（LSE）”方法，其總體邏輯如下。

讓我們先看看我們知道什么，不知道什么?！?/span>y”是一個(gè)已知的值(矢量)，因?yàn)樗墙邮仗炀€接收/測(cè)量的。我們也假設(shè)H是已知的。x現(xiàn)在是未知的，這就是我們要求的。

現(xiàn)在讓我們嘗試一個(gè)有趣的事情。因?yàn)樵谶@種情況下，沒有解析解來求x。讓我們假設(shè)我們做一個(gè)猜測(cè)，并把任何猜測(cè)的數(shù)字代進(jìn)去。現(xiàn)在我們有兩個(gè)部分，一個(gè)是y，它來自直接測(cè)量，另一個(gè)是Hx，它是由H和猜測(cè)值x計(jì)算出來的。因?yàn)樵谶@種情況下x只能是近似值，如果你取y和Hx的差值，你總會(huì)得到一個(gè)非零值。我們稱這個(gè)值為誤差。如果我們用數(shù)學(xué)形式來表示，就會(huì)變成這樣。

繼續(xù)對(duì)x進(jìn)行猜測(cè)，并代入猜測(cè)的x，計(jì)算誤差值。如果你不斷嘗試這個(gè)幾乎無(wú)限次，得到猜測(cè)的x值，產(chǎn)生最少的e(誤差)，你可以稱它為這個(gè)方程的最佳近似答案。但如果你做這種盲目的猜測(cè)，那你永遠(yuǎn)也找不到答案。

讓我們用數(shù)學(xué)方法來解決這個(gè)問題，而不是做無(wú)休止的瘋狂(盲目)猜測(cè)。我們的目標(biāo)是找到使e最小的x。通過兩邊平方，我們可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)形式，這個(gè)值的最小值(或最大值)可以用解析方法找到。(如果你不熟悉最小二乘誤差法，你的第一個(gè)問題可能是“為什么我們需要得到方程的平方?”這是一個(gè)非常好的問題和重要的問題。但我不想詳細(xì)解釋，因?yàn)槟菚?huì)偏離我們的話題太多。然而，我強(qiáng)烈建議你試著閱讀一些關(guān)于“最小二乘”或“最小二乘誤差”方法的材料)。

現(xiàn)在我們?cè)瓉淼膯栴}歸結(jié)為求出一個(gè)二次函數(shù)的最小值x，如下所示。

從高等數(shù)學(xué)中，你會(huì)想起任何二次函數(shù)。函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)(切線斜率)在最小(或最大)位置為0。

通過一個(gè)漫長(zhǎng)而乏味的過程(為了不讓你感到無(wú)聊，我不會(huì)去做所有的步驟)，它會(huì)給你如下所示的最終答案。重要的是你可以通過y和H得到x的最佳近似值。有人可能不熟悉另一個(gè)符號(hào)'H'在上標(biāo)。它是厄米特矩陣符號(hào)。如果你能保證信道矩陣的所有元素都是實(shí)數(shù)，你可以使用'轉(zhuǎn)置'矩陣，但它不能覆蓋信道矩陣有任何復(fù)數(shù)元素的情況。厄密特矩陣既能處理實(shí)矩陣，又能處理復(fù)數(shù)矩陣，因此使用厄密特矩陣是安全的。

盡管這看起來是一個(gè)漫長(zhǎng)、令人困惑、可怕、乏味的過程，但這是最簡(jiǎn)單的方法之一。這是一個(gè)簡(jiǎn)單的做法，但是在特定的情況下卻會(huì)引起一些問題。所以他們開發(fā)了一種更復(fù)雜但更穩(wěn)健的方法，叫做“MMSE”。