傅里葉變換和逆變換是一對(duì)數(shù)學(xué)變換，用于分析信號(hào)和數(shù)據(jù)的頻域特征。傅里葉變換將一個(gè)信號(hào)或函數(shù)從時(shí)間域轉(zhuǎn)換到頻域，而逆變換則將變換后的頻域信號(hào)重新轉(zhuǎn)換回原始的時(shí)間域表示。這些變換被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理、工程、圖像處理、信號(hào)處理等領(lǐng)域。

傅里葉變換的核心思想是，任何一個(gè)連續(xù)時(shí)間的周期性信號(hào)可以表示為無(wú)窮多個(gè)不同頻率正弦波(或復(fù)指數(shù))的疊加。傅里葉變換將信號(hào)分解為不同頻率的正弦波元素，從而揭示了信號(hào)的頻域特征。逆變換則將這些頻域元素重新組合成原始的時(shí)間域信號(hào)。

傅里葉變換可以用于解決許多實(shí)際問(wèn)題。以下是一些傅里葉變換的應(yīng)用示例：

信號(hào)處理：傅里葉變換在信號(hào)處理中被廣泛使用，如濾波器設(shè)計(jì)、頻譜分析、降噪等。通過(guò)將信號(hào)轉(zhuǎn)換到頻域，我們可以更好地理解信號(hào)的頻率分量，并應(yīng)用相應(yīng)的處理技術(shù)。

圖像處理：傅里葉變換對(duì)于圖像處理也非常重要。圖像可以看作是二維的信號(hào)，傅里葉變換能幫助我們理解圖像的頻域特征，如邊緣、紋理和顏色分布等。在圖像壓縮、特征提取和圖像增強(qiáng)等方面應(yīng)用廣泛。

通信系統(tǒng)：在通信系統(tǒng)中，傅里葉變換用于信號(hào)調(diào)制、頻譜分析、調(diào)制解調(diào)器設(shè)計(jì)等。通過(guò)利用傅里葉變換，可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻域?yàn)V波和恢復(fù)，以提高通信系統(tǒng)的性能。

物理學(xué)：傅里葉變換在物理學(xué)中也有廣泛的應(yīng)用。例如，它可用于量子力學(xué)中的波函數(shù)表示、量子力學(xué)和熱力學(xué)中的統(tǒng)計(jì)物理等。數(shù)學(xué)和工程學(xué)：傅里葉變換是數(shù)學(xué)和工程學(xué)中的一個(gè)重要工具。它在微分方程、偏微分方程和概率論等領(lǐng)域中有廣泛應(yīng)用，如求解邊值問(wèn)題、求解熱傳導(dǎo)方程和與概率密度函數(shù)相關(guān)的計(jì)算等。

為什么要使用傅里葉變換呢?傅里葉變換的使用有以下幾個(gè)主要原因：

頻域分析：傅里葉變換可以將信號(hào)從時(shí)間域轉(zhuǎn)換到頻域，從而更好地理解信號(hào)的頻率特征。頻域分析可以提供關(guān)于信號(hào)頻率、幅度和相位的信息，有助于前述應(yīng)用領(lǐng)域的處理和分析。系統(tǒng)性能分析：通過(guò)傅里葉變換，我們可以將系統(tǒng)對(duì)信號(hào)的處理過(guò)程轉(zhuǎn)化為對(duì)頻率分量的處理過(guò)程。這有助于我們理解系統(tǒng)的頻率響應(yīng)、傳遞函數(shù)和濾波特性。通過(guò)對(duì)系統(tǒng)頻域特性的分析，我們可以優(yōu)化系統(tǒng)的性能，例如，設(shè)計(jì)濾波器以改善信號(hào)質(zhì)量。

數(shù)據(jù)壓縮：傅里葉變換可以將信號(hào)從時(shí)間域轉(zhuǎn)換到頻域，減少了信號(hào)冗余信息的存儲(chǔ)和傳輸。通過(guò)對(duì)頻域信號(hào)的重要成分進(jìn)行采樣和編碼，可以實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)壓縮和有效的信號(hào)傳輸。

信號(hào)恢復(fù)：對(duì)于含有噪聲的信號(hào)，傅里葉變換可以幫助恢復(fù)信號(hào)的原始特征。通過(guò)在頻域上對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波，可以去除噪聲和干擾，從而提高信號(hào)質(zhì)量。

逆變器應(yīng)用最為廣泛的PWM技術(shù)中，SPWM控制具有很多優(yōu)點(diǎn)。其控制技術(shù)主要有電壓瞬時(shí)值單環(huán)反饋、電流瞬時(shí)值單環(huán)反饋、電壓電流雙環(huán)反饋環(huán)控制及電壓空間矢量控制。電壓環(huán)使系統(tǒng)有較好的穩(wěn)定性，瞬時(shí)值反饋則增強(qiáng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能[1]。電壓環(huán)采用PI控制，其中比例環(huán)節(jié)及時(shí)反映控制系統(tǒng)的偏差信號(hào)，偏差一旦產(chǎn)生，控制器立即產(chǎn)生控制作用，以減少偏差;積分環(huán)節(jié)主要用于消除靜差，提高系統(tǒng)的無(wú)差度。相對(duì)于位置式控制，增量式控制誤動(dòng)作影響小，必要時(shí)可以用邏輯判斷的方法去掉;且手動(dòng)/自動(dòng)切換時(shí)沖擊小，便于實(shí)現(xiàn)無(wú)擾動(dòng)切換;同時(shí)其算式中不需要累加，比較容易通過(guò)加權(quán)處理而獲得比較好的控制效果[2]。

我們從基本周期為T(mén)的周期函數(shù)g(t)開(kāi)始，然后將其表示為兩個(gè)無(wú)限和。一個(gè)是余弦之和，另一個(gè)是正弦之和。這兩個(gè)和都是加權(quán)的，這意味著它們所包含的每個(gè)余弦和正弦都有一個(gè)系數(shù)。在我們的例子中，這些系數(shù)分別用符號(hào)α_m和b_n表示。下標(biāo)字母m和n是和的計(jì)數(shù)變量。因此，例如，當(dāng)m變成1、2、3等時(shí)，每個(gè)余弦的系數(shù)從α_1變成α_2，α_3以此類推。

還有自變量t，它也是初始函數(shù)g(t)的自變量;常數(shù)2π，它的存在與對(duì)稱性有關(guān);以及分母中的周期T。你可能已經(jīng)注意到，我們可以用頻率f代替上式中的1/T比率，以避免使用分?jǐn)?shù)。

我們?cè)谌呛瘮?shù)中遇到的最后一個(gè)符號(hào)是每個(gè)和的計(jì)數(shù)變量，m代表余弦，n代表正弦。它的存在所達(dá)到的目的是，在無(wú)限的和中，每個(gè)余弦和正弦將有不同的頻率。然而，這些都不是任意的頻率。它們是初始函數(shù)g(t)的頻率的整數(shù)倍。

傅里葉變換(FT)是一種將時(shí)間域信號(hào)轉(zhuǎn)換為頻率域的數(shù)學(xué)工具，用于分析信號(hào)的頻率成分，其計(jì)算復(fù)雜度O(N*N)，適合小規(guī)模數(shù)據(jù)或連續(xù)信號(hào)的理論分析。而快速傅里葉變換(FFT)是傅里葉變換的高效算法，利用分而治之策略將計(jì)算復(fù)雜度降低至 O(NlogN)，特別適合大規(guī)模離散信號(hào)的頻域分析。FFT 在實(shí)際應(yīng)用中極大地提高了計(jì)算速度，廣泛應(yīng)用于音頻、圖像和通信系統(tǒng)等領(lǐng)域。簡(jiǎn)而言之，F(xiàn)T 更適合理論研究，而 FFT 則是現(xiàn)代信號(hào)處理中的核心工具，適用于大規(guī)模數(shù)據(jù)處理和實(shí)時(shí)應(yīng)用。科學(xué)技術(shù)的發(fā)展離不開(kāi)科研儀器的進(jìn)步。凱視邁(KathMatic)自2014年創(chuàng)建以來(lái)，一直“致力于高精尖光學(xué)測(cè)量技術(shù)”，已成為集“研發(fā)、制造、銷售”為一體的國(guó)產(chǎn)高端光學(xué)精密測(cè)量?jī)x器新力量。

讓我們比較一下傅里葉逆變換和傅里葉級(jí)數(shù)。

首先，我們沒(méi)有使用余弦和正弦(這將產(chǎn)生兩個(gè)積分)，而是使用一個(gè)復(fù)指數(shù)，以更簡(jiǎn)潔的方式表示正弦函數(shù)。在積分前出現(xiàn)的系數(shù)1/2π是為了對(duì)稱。

我們立即注意到的另一件重要事情是，我們現(xiàn)在有了一個(gè)積分，而不是一個(gè)離散的 "西格瑪 "和。請(qǐng)記住，積分本身就是和，唯一的區(qū)別是在積分下被求的量是連續(xù)的，而不是離散的。由于初始函數(shù)f(t)是非周期性的，我們需要所有可能的頻率，從負(fù)無(wú)窮大到正無(wú)窮大來(lái)表示它。在傅里葉級(jí)數(shù)的情況下，我們只使用T的整數(shù)倍。由于我們現(xiàn)在沒(méi)有一個(gè)基本周期T，我們被迫使用所有的周期。

對(duì)于復(fù)指數(shù)的系數(shù)，我們得到了在每一個(gè)可能的頻率ω下函數(shù)的傅里葉變換的值。正如你所看到的，從傅里葉級(jí)數(shù)的概念到逆傅里葉變換的概念，有一個(gè)明顯的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

正如泰勒級(jí)數(shù)將一個(gè)函數(shù)分解為無(wú)限的單項(xiàng)式加權(quán)和一樣，傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換幫助我們將一個(gè)周期性函數(shù)表示為正弦信號(hào)的加權(quán)和。正弦信號(hào)在數(shù)學(xué)意義上很容易被運(yùn)算。如果我們知道一個(gè)系統(tǒng)，比如可能是一個(gè)有彈簧的經(jīng)典系統(tǒng)，是如何對(duì)正弦波輸入作出反應(yīng)的，那么我們就可以用上述的想法將任何其他輸入表示為正弦波之和。因此，很大一部分分析已經(jīng)完成，數(shù)學(xué)運(yùn)算也變得容易多了。由于這個(gè)原因，傅里葉級(jí)數(shù)以及傅里葉變換在所有科學(xué)領(lǐng)域都有大量的應(yīng)用，如電子工程、物理和生物。