摘要：電力系統(tǒng)中的諧波對電網(wǎng)危害巨大，對其進(jìn)行監(jiān)測和分析就顯得非常重要。在諧波小波以及諧波小波包的基礎(chǔ)上，提出諧波小波變換的表達(dá)式以及諧波小波算法，給出電力系統(tǒng)諧波分析的仿真示例。仿真結(jié)果表明，利用諧波小波變換分解，并通過最小二乘法擬合出的各次諧波頻率和幅度的誤差率完全符合諧波分析的精度要求。在電力系統(tǒng)諧波的分析中，諧波小波算法具有其他算法無可比擬的優(yōu)越性。
關(guān)鍵詞：諧波小波；諧波分析；電力系統(tǒng)；諧波；間諧波；最小二乘法擬合

0 引 言
    由于電力系統(tǒng)中大量非線性設(shè)備的存在，導(dǎo)致它們在工作時不僅會產(chǎn)生基波頻率的整數(shù)次諧波，還可能產(chǎn)生基波頻率的非整次諧波，即間諧波，這會對電能造成嚴(yán)重的污染，增加能量損失，威脅電力設(shè)備的安全運(yùn)行。因此，諧波和間諧波的分析對于電力系統(tǒng)的監(jiān)控與保護(hù)都具有十分重要的意義。
    傳統(tǒng)的正交小波包變換在電力系統(tǒng)諧波分析與檢測中有著廣泛的應(yīng)用。但是由于小波包變換固有的性質(zhì)，如小波包變換的混疊現(xiàn)象比小波變換的混疊現(xiàn)象更為直觀形象，其影響也比小波變換嚴(yán)重，這主要是由于分解濾波器之間存在頻帶混疊現(xiàn)象，小波頻譜的起始頻率和截止頻率之間存在過渡帶。諧波小波變換是一種基于快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT)及其逆變換(Inverse Fast Fourier Transform，IFFT)的快速算法，在數(shù)值上容易實(shí)現(xiàn)，其算法快，精度高，具有很好的工程實(shí)用價值。通常的小波算法(如Mallat算法，Daubechies小波)在分解信號時要隔二取一，從而使得在小波分解時各層的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)和采樣頻率隨尺度的增加逐漸減小。諧波小波相對于傳統(tǒng)的小波函數(shù)而言，具有更普遍意義上的正交性以及優(yōu)異的視頻分解能力，其明顯優(yōu)勢就是信號任意頻段的“細(xì)化”能力，雖然它在時域中的局部化能力一般，但在頻域分析中對精度有特殊要求的場合，這種優(yōu)勢就非常符合需求。

1 諧波小波分析
1.1 經(jīng)典諧波小波
    設(shè)時域函數(shù)h(t)和h(t)的傅里葉變換所對應(yīng)的頻域函數(shù)為Ｈｅ(ω)和Ｈ。(ω)，它們的表達(dá)式見式(1)：

   
式中：下標(biāo)e和o分別表示該函數(shù)是變量ω的偶函數(shù)和奇函數(shù)。
    將頻域函數(shù)Ｈｅ(ω)和Ｈ。(ω)組成復(fù)合函數(shù)Ｈ(ω)，可得：

   
    H(ω)具有良好的緊支撐特性和盒形特征。對式(1)作廣義的傅里葉逆變換(忽略系數(shù)1/(2π))，可得：

   
    將時域函數(shù)he(t)和h。(t)組成復(fù)合函數(shù)h(t)，可得：

   
    由此定義的復(fù)合函數(shù)h(t)稱為諧波小波函數(shù)，亦稱為經(jīng)典諧波小波或二進(jìn)諧波小波，其實(shí)部he(t)和虛部h。(t)的波形如圖1所示。

    由圖1可以看出，諧波小波h(t)是由相差90°的實(shí)部偶小波和虛部奇小波構(gòu)成。虛部奇小波所構(gòu)成的濾波器都是零相移濾波器，具有鎖定信號相位的功能。它
在時域上的衰減速度較慢(與時間t成反比)，導(dǎo)致其時域局部化特性較弱。
    為了獲得諧波小波h(t)的二進(jìn)伸縮平移系，令：

   
式中：j為非負(fù)整數(shù)；k為整數(shù)。
    把式(5)代入式(4)，可得：

   
    在式(6)中，小波的形狀沒有改變，只是在水平尺度上被壓縮了2j，并且位置在新的尺度上被平移了k個單位，這與二進(jìn)小波變換的形式是一致的。其j值決定諧波小波的尺度或?qū)訑?shù)。例如當(dāng)j＝O時，諧波小波的傅里葉變換位于[2j+1π，4π]頻帶中；若在第j層時，則諧波小波的傅里葉變換位于[2j+1π，2j+2π]頻帶之間。即隨著j值的增大，其頻譜的帶寬以二進(jìn)方式逐漸加大。諧波小波對信號的分解從低頻到高頻是以2倍的關(guān)系逐漸增加的，它對信號的低頻部分劃分比較細(xì)，而對信號的高頻部分劃分比較粗，這說明經(jīng)典諧波小波分解也屬于二進(jìn)小波分解的范疇。
1.2 諧波小波的改進(jìn)
    為了使分析頻帶的選取更為靈活，不受二進(jìn)方式的限制，對經(jīng)典諧波小波加以改進(jìn)，拓寬諧波小波的概念及應(yīng)用范圍。引入正整數(shù)m一2j，n＝2j+1(m<n)，把m，n代入式(4)，并通過伸縮平移生成的諧波小波族為：

   
其頻域表達(dá)式為：

   
    由式(7)可以看出，實(shí)際上m，n既可以取正整數(shù)，也可以取負(fù)整數(shù)，這樣它們之間就不必滿足，n＝2m這一條件的限制(二進(jìn)限制)，只要保證m<n即可，這就使得諧波小波在分析頻帶的選取上具有更大的靈活性。這就是改進(jìn)的諧波小波相對于經(jīng)典諧波小波的一個明顯優(yōu)勢。
    若給定諧波小波的位移步長為k/(n－m)，k為整數(shù)，對式(7)進(jìn)行平移變換可得：

   
    由此可見，式(10)是分析頻率帶寬為(n－m)2π，分析時間中心在t＝k、(m－m)處的諧波小波一般表達(dá)式。文獻(xiàn)[12]證明了諧波小波族ψm，n(t)是一個正交的解析信號，它構(gòu)成了空間L2(R)的一組正交基。
1.3 諧波小波包
    由式(9)可知，諧波小波的關(guān)鍵在于尺度參數(shù)m，n的選取。令信號的奈奎斯特頻率為fs，則第j(j為非負(fù)整數(shù))層各小波的分析頻率帶寬為：

    
    這樣可以設(shè)定分析頻帶的上、下限頻率分別為：

   
    隨著分解層數(shù)j的逐漸增大，可以體現(xiàn)出諧波小波包對信號任意頻段的“細(xì)化”能力。如果要對信號的某一頻段進(jìn)行重點(diǎn)分析，則先由式(11)確定信號的分解層數(shù)j，再由式(12)確定所要分析頻帶的上、下限頻率，也就是定義諧波小波的尺度參數(shù)m，n。
    由于諧波小波沒有尺度函數(shù)，因此諧波小波包的思想與傳統(tǒng)的小波包理論有所不同，不能采用正交濾波器組對信號進(jìn)行頻帶分解。由式(9)可知，諧波小波具有可調(diào)的尺度參數(shù)m，n，對在不同頻帶的信號進(jìn)行分解時采用不同的m，n，這樣就可以將諧波小波良好的濾波效果應(yīng)用到諧波小波包的分析中。信號經(jīng)過小波包分解后，在各個頻帶中的信號仍具有與原始信號相同的頻率分辨率，而且分解后信號的數(shù)據(jù)長度并沒有減少，這克服了Mallat算法的小波包分解帶來數(shù)據(jù)長度減少的問題。由于小波濾波器不具有理想“盒形”的頻譜特性，起始頻率和截止頻率之間存在過渡帶，這導(dǎo)致在信號的分解過程中往往會發(fā)生頻帶間的能量冗余，造成誤差，而諧波小波包濾波器則完全可以克服以上問題。具體方法是首先得到待分析信號的頻譜，確定譜線的頻點(diǎn)數(shù)值，然后根據(jù)預(yù)設(shè)的窗寬來確定尺度參數(shù)。

2 諧波小波變換及算法
2.1 諧波小波變換
    根據(jù)小波變換的定義，對某一尺度的小波函數(shù)ψm,n(t)，信號z(t)∈L2。(R)的小波變換可表示為：

    式(14)和式(15)分別稱作信號x(t)在m，n尺度下的時域和頻域的諧波小波變換表達(dá)式。
    對于離散信號序列x(r)，r=0，1，2，…，N-1，其諧波小波變換為：

   
    由式(13)～式(16)可以看出，信號的諧波小波變換非常簡潔，容易實(shí)現(xiàn)。同時，由于諧波小波對信號各次諧波分量的相位有保持功能，所以對信號進(jìn)行諧波小波分解后，也可以對信號進(jìn)行重構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)信號的濾波和降噪。
2.2 諧波小波算法
    首先對諧波源信號x(t)進(jìn)行FFT運(yùn)算，對變換得到的結(jié)果X(ω)進(jìn)行頻率搜索，以確定諧波小波的尺度參數(shù)mj，ni，進(jìn)而確定諧波小波函數(shù)hmj,nj(t)，然后將諧波小波函數(shù)hmj,nj(t)進(jìn)行FFT運(yùn)算的結(jié)果Hmj,nj(ω)與X(ω)相乘，再對其相乘的結(jié)果W(mj，nj，ω)進(jìn)行IFFT運(yùn)算，通過對時域的小波系數(shù)W(mj，nj，t)進(jìn)行重構(gòu)，得到各次諧波和間諧波的瞬時值，最后利用最小二乘法對各頻率分量進(jìn)行擬合，得到諧波小波分析的結(jié)果，其流程圖如圖2所示。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析
    為了更好地驗(yàn)證諧波小波算法在電力系統(tǒng)諧波與間諧波分析中的有效性，進(jìn)行如下的仿真實(shí)驗(yàn)。
    設(shè)電網(wǎng)中的諧波源信號為：

   
式中：基波頻率為50 Hz，并且含有3，5，7，9次諧波和頻率為75 Hz(基波頻率的1.5倍)的間諧波共6個頻率分量以及隨機(jī)噪聲e(t)，具體的參數(shù)設(shè)置如表1所示。

    設(shè)采樣頻率f3＝1 250 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)N＝1 024。利用諧波小波變換(Harmonic：Wavelet Transform，HWT)對諧波源信號μ(t)進(jìn)行分解，通過Matlab仿真得到分解后各頻率分量的波形如圖3所示。

    由圖3可以看出，諧波源中的各次諧波和間諧波分量被分解到了不同的頻帶中，這表明利用諧波小波算法來實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)諧波和間諧波信號的分離是完全有效的。下一步需要對分解出的各個頻帶分量進(jìn)行參數(shù)提取，以計(jì)算出各次諧波的頻率和幅值。
    最小二乘法擬合是一個基于全局觀念的擬合方法，針對某一樣本數(shù)據(jù)集合，利用該方法可以求得該集合中的主流趨勢。利用最小二乘法對6個頻帶內(nèi)的諧波和間諧波分量進(jìn)行擬合，并且定義頻率和幅度的誤差率分別為：

    
    其計(jì)算結(jié)果如表2所示。

    由表2可以看出，利用HwT法分解并擬合出的各次諧波頻率的誤差率在10-4量級，幅度的誤差率在10-2數(shù)量級，完全符合諧波分析的精度要求。由此可見，HwT法在諧波頻率和幅值的檢測中具有非常明顯的優(yōu)勢。

4 結(jié)語
    將諧波小波引入電力系統(tǒng)的諧波分析中，首先闡述了經(jīng)典諧波小波及其改進(jìn)及諧波小波包的概念，接著利用推導(dǎo)出的諧波小波算法對電網(wǎng)中的諧波源信號進(jìn)行諧波參數(shù)提取。仿真結(jié)果表明，諧波小波變換可以快速有效地對電力系統(tǒng)中的電壓諧波以及間諧波進(jìn)行檢測，并能準(zhǔn)確地分解出各次諧波分量?？梢灶A(yù)計(jì)，隨著諧波小波理論的不斷發(fā)展和完善，諧波小波變換必將在電力系統(tǒng)間的諧波分析中發(fā)揮更大作用。