1 FIR濾波器的頻域設計
1．1 H(k)計算公式
    根據(jù)FIR濾波器頻域采樣法設計，如果濾波器的類型和階數(shù)N確定，可以在頻域上確定h(n)的N點FFT，用H1(k)表示。因此，有：

   
    可見，當L為N的整數(shù)倍時只要通過對H1(k)內插O，再進行比例放大，就可得到H(k)。
    (2)假設濾波器具有線性相位特性，則H1(k)可用幅度函數(shù)和相位函數(shù)的采樣表示，記為：

   
    從上面分析可見，只要確定濾波器的階數(shù)N和H1(k)(H1k)就可計算出H(k)。下面討論其確定方法。
1．2 濾波器的階數(shù)和H1(k)確定方法
    在設計一個濾波器之前，必須首先根據(jù)工程實際的需要確定濾波器的技術指標。數(shù)字濾波器常常被用來實現(xiàn)選頻操作，因此，指標的形式一般在頻域中給出幅度和相位響應，并且對于FIR濾波器的設計，相位響應指標通常希望系統(tǒng)在通頻帶中具有線性相位。確定了技術指標后，就可以建立一個目標的數(shù)字濾波器模型。確定濾波器的階數(shù)和H1(k)。
    下面以一個實際例子來說明計算過程。假設要設計一個多帶FIR線性相位數(shù)據(jù)濾波器的技術指標為：對模擬信號進行采樣的周期T=O.000 1 s，在fp=[1 000，2 000，3 000]Hz處的衰減小于2 dB，在fr=[1 250，1 750，3 250]Hz處的衰減大于40 dB。則：
    (1)濾波器的技術指標
    濾波器的技術指標如下：
    通帶截止頻率：

   
    (2)目標濾波器的模型
    采用理想濾波器模型作為所要設計的目標濾波器模型。根據(jù)指標要求，選用如圖1所示的幅度模型。

    (3)確定濾波器的階數(shù)和H1(k)
    根據(jù)過渡帶的指標要求，由理想濾波器模型的過渡帶為2π/N可以確定濾波器階數(shù)N=40。根據(jù)線性相位的約束條件，N為偶數(shù)，濾波器的幅度函數(shù)要求奇對稱，即H1k滿足：H1k=-Hl(N-k)。
    由邊界頻率：可求出邊界頻率采樣點kp=[4，8，12]。
    以理想濾波器為目標濾波器進行設計，則幅度函數(shù)采樣點為：

   
    (4)設計結果性能分析
    根據(jù)內插公式可求出所設計的濾波器的頻率響應。這里，直接利用Matlab編程分析得到的結果如圖2所示。

    由圖2可見，濾波器的邊界頻率符合要求，但是，阻帶衰減僅達到16 dB，因此，必須進行優(yōu)化。
1．3 優(yōu)化設計
1．3．1 簡易優(yōu)化設計法
    由內插公式可知，頻率采樣濾波器的頻響在采樣點上等于采樣點的值，因此，在不增加階數(shù)的情況下，可通過修改邊界頻率點的采樣值進行優(yōu)化。根據(jù)指標要求：通帶衰減小于Ap=2 dB，阻帶衰減大于Ar=40 dB。將通帶和阻帶的邊界采樣點的值按式(10)，式(11)計算：

   
    根據(jù)式(10)，式(11)，將Ap，Ar代入，利用Matlab編程，相應的語句如下：
   
    計算結果：Hp=0．794 3，Hr=0．010 O，優(yōu)化式(7)得到新的設計結果。進行頻率特性分析得到如圖3所示的結果。由圖3可見，濾波器的邊界頻率符合要求，但是，阻帶最小衰減已經(jīng)超過了20 dB，得到了明顯改善。

l.3．2 自適應搜索優(yōu)化
    上述方法簡單但不是最優(yōu)，達到的性能指標不高。下面利用自適應搜索算法對過渡點進行進一步的優(yōu)化。自適應搜索算法采用均方誤差最小準則。對于具有線性相位的FIR數(shù)字濾波器，其性能主要取決于幅度函數(shù)，因此定義誤差函數(shù)E(ω)為：
   
式中：Hd(ω)為設計的目標濾波器的幅度函數(shù)；H(ω)為設計的濾波器的幅度函數(shù)，其表達式為：

   
    則均方誤差為：

式中：M為頻域采樣點數(shù)，應盡量大，取
    設：Hi為過渡點，η為搜索步長。則可以導出該過渡點調整算法為：

   
可以證明，O<η<2／N時，該算法是收斂的。
    根據(jù)上述算法，利用Matlab編程對過渡點進行自適應調整，得到如圖4所示結果。

    由圖4可見，濾波器的邊界頻率符合要求，阻帶衰減超過40 dB，符合指標要求，但是過渡帶增大。N增大一倍后，設計結果如圖5所示，濾波器指標滿足要求。

2 結 語
    FIR濾波器的FFT快速算法實現(xiàn)，只要一次的FFT和一次的IFFT就可以實現(xiàn)，在階數(shù)高的情況下，具有很高的運算效率。采用在頻域上直接設計可以很方便地得到所需的濾波器的頻域系數(shù)。當L為N的整數(shù)倍時，只要通過對H1(k)內插0，再進行比例放大，就可得到H(k)，因此，可以作為L，N選擇時參考。文中提出的根據(jù)所要設計的濾波器的技術指標來確定邊界頻率點幅度取樣和自適應搜索算法，可供教學和科研設計中進行濾波器優(yōu)化時使用。