摘要：基于線性神經網絡原理，提出線性神經網絡的模型，并利用Matlab實現(xiàn)Widrow-Hoff神經網絡算法。分析Matlab人工神經網絡工具箱中有關線性神經網絡的工具函數(shù)，最后給出線性神經網絡在系統(tǒng)辨識中的實際應用。通過對線性神經網絡的訓練，進一步驗證Widrow-Hoff神經網絡算法的有效性，以及用其進行系統(tǒng)辨識的高精度擬合性。
關鍵詞：Widrow-Hoff學習規(guī)則；線性神經網絡；Matlab；系統(tǒng)辨識

1 引言
    利用神經網絡解決實際問題時，必定涉及大量數(shù)值計算。為了解決數(shù)值計算與計算機仿真間的矛盾。美國MathWorks公司推出的集數(shù)學計算、圖形計算、語言設計、計算機仿真于一體的Matlab具有非線性適應性信息處理功能，克服傳統(tǒng)人工智能方法對于直覺，如模式、語言識別、非結構化信息處理方面的缺陷，使之在神經專家系統(tǒng)、模式識別、智能控制、組合優(yōu)化、預測等領域獲得成功，具有極高的編程效率。神經網絡工具箱是以神經網絡理論為基礎，用Matlab語言構造的典型神經網絡工具函數(shù)。Matlab中大量有關線性神經網絡的工具函數(shù)可為線性神經網絡研究和應用提供強有力的工具。

2 線性神經網絡原理
2．1 線性神經網絡的模型
    圖1是具有R個輸入的單層(有S個神經元)線性神經網絡結構，其權值矩陣為w，閾值向量為b，這種網絡也稱為Madaline網絡。

2．2 線性神經網絡的學習規(guī)則
    線性神經網絡是基于線性神經網絡算法。線性神經網絡采用Widrow-Hoff學習規(guī)則，利用learnwh()函數(shù)修正網絡的權值和閾值。使用Widrow-Hoff學習規(guī)則訓練網絡某一層的權值和閾值，使其線性逼近一個函數(shù)式。
    首先定義一個線性網絡的誤差函數(shù)：

   
    通過式(1)可知，線性網絡具有拋物面型的誤差曲面，因此只有一個誤差最小值。由于該值取決于網絡的權值和目標矢量，于是可通過調整權值使誤差達到最小。Widrow-Hoff學習規(guī)則是通過沿著相對于誤差平方和的最速下降方向，連續(xù)調整網絡的權值和閾值，根據(jù)梯度下降法，權值矢量的修正正比于當前位置上的e(w，b)的梯度，對于第i個輸出節(jié)點：

式中，η是學習率。
    當η較大時，學習過程加速，網絡收斂較快，但η過大時，學習過程變得不穩(wěn)定，且誤差增大；δ(i)=t(i)-a(i)。
    以上各式為Widrow-Hoff學習規(guī)則最小均方誤差算法(LMS)。Widrow-Hoff學習規(guī)則的權值變化量正比于網絡的輸出誤差及網絡的輸入矢量。該算法無需求導，因此較簡單，并具有收斂速度快和精度高的優(yōu)點。由于學習率與學習過程比較密切，因此學習率的取值非常關鍵。
    采用Widrow-Hoff規(guī)則訓練的線性網絡，該網絡能夠收斂的必要條件是被訓練的輸入矢量必須是線性獨立的，且應適當選擇學習率。

3 線性神經網絡設計
    Matlab神經網絡工具箱中含有易于構建的神經網絡函數(shù)。以下詳細說明線性神經網絡設計。
3．1 線性神經網絡的Matlab設計
3．1．1 線性神經網絡初始化
    初始化是對連接權值和閾值進行初始化。initwb()初始化函數(shù)是對網絡的某一層的權值和閾值進行初始化，其格式為：net=initwb(net，i)。其中，i表示網絡的第i層。函數(shù)返回為第i層的權值和閾值都更新的網絡。
3．1．2 訓練網絡
    線性神經網絡初始化后，就可對其訓練。設置參數(shù)，諸如學習步長、誤差目標等，同時在網絡訓練過程中，圖形顯示網絡誤差隨學習次數(shù)的變化而變化。
    其格式為：

   
式中，Pd為延遲輸入；T為每一層的目標向量；Ai為初始輸入條件；Q為輸入向量個數(shù)；TS為時間步長；VV為空矩陣或確定的向量結構。
3．1．3 網絡仿真
    仿真甬數(shù)sim()用來網絡仿真。其格式為：[Y，Pf，Af]=sim(net，{Q TS}，Pi，Ai)。其中，Y為訓練好的線性神經網絡的實際輸出；Pf為最終輸出延遲；Af為最終的層延遲。
3．2 訓練步驟
    (1)根據(jù)給定的輸入矢量計算網絡的輸出矢量a=wxp+b，并計算與期望輸出之間的誤差e=t-a；
    (2)將網絡輸出誤差的平方和與期望誤差相比較，如果其值小于期望誤差，或訓練以達到事先設定的最大訓練次數(shù)，則終止訓練；否則，繼續(xù)訓練；
    (3)采用Widfrow-Hoff學習規(guī)則計算新的權值和閾值，并返回至(1)。

4 線性神經網絡在系統(tǒng)辨識中的應用
4．1 工作原理
    線性神經網絡用于線性系統(tǒng)辨識必須遵循系統(tǒng)辨識的3個基本構成原則：(1)選擇在滿足給定的誤差準則下逼近系統(tǒng)的最簡單模型；(2)輸入信號的頻譜必須足以覆蓋系統(tǒng)的頻譜；(3)誤差準則由誤差的泛函表示。
    對于一個具有m個輸入和n個輸出的r階離散線性系統(tǒng)，可由n個差分方程來描述，其中第l個差分方程的一般形式表示為：

   
式中，aij和bij是方程右邊各項系數(shù)，如果某項系數(shù)為零，則該項與y1(k)無關，去掉該項。
    從式(5)可以看出，線性系統(tǒng)k時刻的輸出可以由前面時刻有關輸入輸出線性表示，這種關系類似于單層線性神經網絡輸入輸出之間的關系。根據(jù)上述原則(1)，建立線性神經網絡以辨識線性系統(tǒng)，神經網絡的輸入由系統(tǒng)輸入輸出信號的時延序列組成，網絡的輸入個數(shù)與系統(tǒng)階數(shù)有關，神經網絡的輸出代表系統(tǒng)輸出的估計值，網絡的輸出個數(shù)等于系統(tǒng)輸出個數(shù)。網絡建立后，根據(jù)基本構成原則(2)，運用Widrow-Hoff學習規(guī)則訓練神經網絡，反復調節(jié)網絡的權值和閾值，使網絡輸出y(k)和系統(tǒng)輸出Y(k)之間的輸出誤差不斷減小，直至達到規(guī)定精度要求。
4．2 應用實例
    設系統(tǒng)傳遞甬數(shù)為用線性神經網絡辨識其脈沖響應。設置如果迭代次數(shù)大于10 000或誤差小于0．001時，訓練結束。
    采用其工作原理及Widrow-Hoff規(guī)則訓練給定系統(tǒng)。訓練過程中，當?shù)拇螖?shù)大于10 000或誤差小于目標誤差時，訓練結束。圖2為訓練后的訓練誤差及步數(shù)曲線，由圖2看出，經過7 766步訓練后誤差達到0．000 999 252小于誤差目標e=0．001，訓練結束。

    圖3為訓練后的結果與期望結果的比較，圖中，“·”表示訓練值，連續(xù)曲線表示理論值。由圖3可見，訓練值和理論值基本擬合。

    需要注意的是，在訓練過程中發(fā)現(xiàn)，由于權值的初始值是隨機的，經多次訓練，每次的訓練結果都不一樣，有時訓練到10 000步時仍然收斂不到0．001。由此可見，初始權值的選取對訓練是有一定影響的。選取初始值時應要根據(jù)具體要求而定，不能隨意而定。

5 結語
    論述的Widrow-Hoff學習規(guī)則算法可實現(xiàn)，仿真結果表明Widrow-Hoff學習規(guī)則無需求導，算法比較簡單，收斂速度快。采用線性神經網絡辨識系統(tǒng)，無需建立實際系統(tǒng)的辨識模式，因為線性神經網絡本身已作為一種辨識模型，可達到很高的辨識速度且擬合精度較高。該方法還可推廣至其他本質非線性系統(tǒng)。