傅里葉分析的起源

傅里葉是一位法國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，他在1807年在法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)上發(fā)表了一篇論文，論文里描述運(yùn)用正弦曲線來描述溫度分布，論文里有個(gè)在當(dāng)時(shí)具有爭(zhēng)議性的決斷：任何連續(xù)周期信號(hào)都可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成。當(dāng)時(shí)審查這個(gè)論文拉格朗日?qǐng)?jiān)決反對(duì)此論文的發(fā)表，而后在近50年的時(shí)間里，拉格朗日?qǐng)?jiān)持認(rèn)為傅立葉的方法無法表示帶有棱角的信號(hào)，如在方波中出現(xiàn)非連續(xù)變化斜率。直到拉格朗日死后15年這個(gè)論文才被發(fā)表出來。
那到底誰才是正確的呢？拉格朗日的觀點(diǎn)是：正弦曲線無法組成一個(gè)帶有棱角的信號(hào)。這是對(duì)的，但是，我們卻可以用正弦信號(hào)來非常逼近地表示它，逼近到兩種方法不存在能量差異，這樣來理解的話，那傅里葉是正確的。

如何表示的？

傅里葉在這里所提出的，任何連續(xù)周期信號(hào)都可以用一組連續(xù)的正弦曲線組合而成，是怎么一個(gè)表示法呢，我們用一個(gè)例子來進(jìn)行說明：

從上圖中，我們可以看出，a 圖是一個(gè)正弦波，b 圖是三個(gè)不同頻率的正弦波疊加而成，c 圖是由 7 個(gè)不同頻率的正弦波疊加而成，d 圖是由 19 個(gè)不同頻率的正弦波疊加而成。從上圖中可以看出，隨著疊加的波形個(gè)數(shù)的增加，得到的波形愈來愈接近一個(gè)方波。
到這里也很容易想明白，明明是正弦波，疊加起來卻趨近成一個(gè)方波，隨著疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時(shí)繼續(xù)上升的部分使其變?yōu)樗骄€。一個(gè)矩形就這么疊加而成了。那需要多少個(gè)這樣的波形呢？答案也是顯然的，需要無窮個(gè)。
下面是一個(gè)更加直觀的圖：

在有了上述的直觀理解之后，我們?cè)賮碛^察傅里葉級(jí)數(shù)的展開式，

可以看到 f(t) 可以分解成各個(gè)頻率的正弦信號(hào)的疊加，最開始的 a0 可以看成是一個(gè)直流分量的疊加。

有何意義

再明白了任意一個(gè)周期信號(hào)都可以由一組適當(dāng)?shù)恼倚盘?hào)組成之后，我們來看一下這樣做的意義又是如何呢？這里就要引入頻域的概念。
我們?cè)谏钪心軌蚋惺艿降氖侨f事萬物都在隨著時(shí)間發(fā)生改變，但是很多情況下，如果從時(shí)間的尺度去觀察，不能看出什么比較顯著的特征，這個(gè)時(shí)候，就需要從頻域的尺度去觀察。
在這里，筆者仍舊以方波為例進(jìn)行分析，下圖是方波分解得到的一系列的正弦信號(hào)，以及圖片中所展示的，頻域圖像和時(shí)域圖像。

我們通過上圖可以看到頻域圖像是由方波所得到的一系列的正弦信號(hào)的幅值在對(duì)應(yīng)的頻率點(diǎn)上的投影，這樣就構(gòu)成了我們的頻域圖像。也就是說我們通過傅里葉變換將原信號(hào)進(jìn)行分解，然后將分解出的信號(hào)的幅值投影在其所對(duì)應(yīng)的頻率點(diǎn)處，從而使得我們能夠從頻域的角度去分析和處理信號(hào)，其中最為普遍的一個(gè)應(yīng)用就是在得到的原始信號(hào)的頻域圖后，我們就可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波，去除我們所不需要的頻率成分。下圖是一個(gè)關(guān)于傅里葉變換的動(dòng)圖展示，能夠方便我們更好地理解.

傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換的關(guān)系

我們?cè)诮佑|到傅里葉分析信號(hào)的時(shí)候，會(huì)涉及到兩個(gè)概念，一個(gè)就是傅里葉級(jí)數(shù)，一個(gè)就是傅里葉變換，那兩者之間的關(guān)系是什么呢？對(duì)于傅里葉級(jí)數(shù)來講，它是針對(duì)于周期信號(hào)的，但是不能夠處理非周期的信號(hào)，而傅里葉變換就可以處理非周期的信號(hào)。
下圖展示了這樣一個(gè)區(qū)別：

我們可以看到 （a）和 （b）就是針對(duì)于周期信號(hào)而言的，它通過傅里葉級(jí)數(shù)的方式將圖像變換到頻域，并且由圖像可以看出周期信號(hào)變換得到的頻域圖像是離散的，但是針對(duì)于 （c）圖來說，信號(hào)是非周期的，針對(duì)于非周期信號(hào)的處理方式需要使用傅里葉變換來進(jìn)行處理，他的頻域圖像是連續(xù)的。進(jìn)一步來進(jìn)行分析，a -> b -> c 的原始信號(hào)的周期可以看成是依次增大的一個(gè)過程，非周期信號(hào)的周期可以看成是無窮大，周期越大，頻率也就越小，那么對(duì)應(yīng)于頻域譜的譜線之間的距離就越近，周期無窮大，那么頻域也就變成連續(xù)的了。

總結(jié)

針對(duì)于傅里葉分析來說，筆者上述所分享的內(nèi)容都沒有對(duì)應(yīng)的計(jì)算說明，只是通過圖進(jìn)行直觀地闡述，雖然理解起來更加直觀了，但是，如果要達(dá)到對(duì)于傅里葉分析的深刻理解，仍然要進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)，從數(shù)學(xué)層面去深刻理解，才能達(dá)到對(duì)于這個(gè)知識(shí)的熟練運(yùn)用。