數(shù)據(jù)的表示

在計(jì)算機(jī)中，所有的數(shù)據(jù)都是以二進(jìn)制的形式進(jìn)行表示的，也就是說(shuō)，在計(jì)算機(jī)中使用0和1來(lái)表示所有的數(shù)據(jù)。而我們?nèi)粘Ｉ钪械臄?shù)字都是10進(jìn)制的，那我們平時(shí)使用的數(shù)字如果在計(jì)算機(jī)中表示時(shí)就需要進(jìn)行進(jìn)制的轉(zhuǎn)換。

進(jìn)制轉(zhuǎn)換

R進(jìn)制轉(zhuǎn)10進(jìn)制

R進(jìn)制轉(zhuǎn)10進(jìn)制可以使用按權(quán)展開(kāi)的方法，具體的操作就是：將R進(jìn)制數(shù)的每一位數(shù)值使用R^k^表示，底數(shù)是R，指數(shù)是k。其中，k與該位和小數(shù)點(diǎn)之間的位置有關(guān)。當(dāng)這個(gè)位置位于小數(shù)據(jù)左邊時(shí)，k的值是從小數(shù)點(diǎn)向左依次數(shù)的個(gè)數(shù)，需要注意的是：緊鄰小數(shù)點(diǎn)的數(shù)字位置為0，接下來(lái)是1,2...依次類(lèi)推。同樣的，如果這個(gè)位置在小數(shù)點(diǎn)的右邊，則緊鄰小數(shù)據(jù)點(diǎn)位置的數(shù)字從-1開(kāi)始，依次向右數(shù)為-2，-3等等，依此類(lèi)推。

例如，我們給出一個(gè)二進(jìn)制數(shù)字，11010101.01，轉(zhuǎn)換為10進(jìn)制數(shù)字為：1 x 2^7^ + 1 x 2^6^ + 0 x 2^5^ + 1 x 2^4^ + 0 x 2^3^ + 1 x 2^2^ + 0 x 2^1^ + 1 x 2^0^ + 0 x 2^-1^ + 1 x 2^-2^。

注：2^7^表示2的7次方。

再比如，我們給出一個(gè)八進(jìn)制數(shù)，76128.01，轉(zhuǎn)換為10進(jìn)制數(shù)字為：7 x 8^4^ +6 x 8^3^ + 1 x 8^2^ + 2 x 8^1^ + 8 x 8^0^ + 0 x 8^-1^ + 1 x 8^-2^

十進(jìn)制轉(zhuǎn)R進(jìn)制

十進(jìn)制轉(zhuǎn)R進(jìn)制就比較簡(jiǎn)單了，這里我們可以使用短除法。

例如，將十進(jìn)制數(shù)字69轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制的過(guò)程如下所示。

得出短除的結(jié)果后，我們需要將余數(shù)倒過(guò)來(lái)排列即為十進(jìn)制69轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制的結(jié)果，所以結(jié)果數(shù)據(jù)為：1000101。

二進(jìn)制與八進(jìn)制互轉(zhuǎn)

二進(jìn)制轉(zhuǎn)八進(jìn)制時(shí)，每三位二進(jìn)制數(shù)表示一個(gè)八進(jìn)制數(shù)。因?yàn)樵诎诉M(jìn)制中，總共有8個(gè)基數(shù)，分別是0~7，逢8進(jìn)1。而如果要使用二進(jìn)制來(lái)表示時(shí)，0的二進(jìn)制為000，7的二進(jìn)制為111，所以，每三位二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)一位八進(jìn)制數(shù)。反過(guò)來(lái)，每一位八進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)三位二進(jìn)制數(shù)。

具體的劃分策略是，從二進(jìn)制的低位開(kāi)始，從低到高，也就是從右向左，每三位二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)八進(jìn)制數(shù)，不足三位的前面補(bǔ)0，例如，我們將二進(jìn)制數(shù)：10001110轉(zhuǎn)化為八進(jìn)制數(shù)的過(guò)程，具體如下所示。

所以，二進(jìn)制數(shù)10001110轉(zhuǎn)化為八進(jìn)制數(shù)的結(jié)果為216。

同理，八進(jìn)制轉(zhuǎn)二進(jìn)制與二進(jìn)制轉(zhuǎn)八進(jìn)制正好相反，八進(jìn)制的每一位對(duì)應(yīng)三位的二進(jìn)制數(shù)。也就是說(shuō)，將八進(jìn)制數(shù)的每一位轉(zhuǎn)化成三位的二進(jìn)制數(shù)即可。

二進(jìn)制與十六進(jìn)制互轉(zhuǎn)

在十六進(jìn)制表示的數(shù)字中，總共有15個(gè)基數(shù)，為0~15，逢16進(jìn)1。如果要將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十六進(jìn)制數(shù)時(shí)，首先要弄清楚每位十六進(jìn)制數(shù)需要多少為二進(jìn)制數(shù)表示。在十六進(jìn)制中，最大的基數(shù)為15,15的二進(jìn)制表示為：1111，最小的基數(shù)為0,0的二進(jìn)制數(shù)為0000，也就是說(shuō)，十六進(jìn)制的基礎(chǔ)使用二進(jìn)制表示為 0000~1111，所以，每位十六進(jìn)制數(shù)需要四位二進(jìn)制數(shù)表示。

從二進(jìn)制數(shù)的低位開(kāi)始，也就是從右側(cè)開(kāi)始，每四位二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)一位十六進(jìn)制數(shù)。

例如，我們需要將二進(jìn)制數(shù)10001110轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)，如下所示。

注意：在十六進(jìn)制中，分別使用A,B,C,D,E,F代表10,11,12,13,14,15。

所以，二進(jìn)制10001110轉(zhuǎn)化為十六進(jìn)制的結(jié)果為8E。

十六進(jìn)制轉(zhuǎn)二進(jìn)制與二進(jìn)制轉(zhuǎn)十六進(jìn)制正好相反，將十六進(jìn)制的每一位轉(zhuǎn)換為四位二進(jìn)制數(shù)即可。

數(shù)據(jù)的碼制

在計(jì)算機(jī)中，帶符號(hào)的機(jī)器數(shù)可以采用原碼、反碼、補(bǔ)碼和移碼表示，這些編碼稱(chēng)為碼制。

原碼

在原碼表示中，最高位是符號(hào)位，0表示正號(hào)，1表示負(fù)號(hào)，其余的n-1位表示數(shù)值的絕對(duì)值，數(shù)值0的原碼有兩種表示形式： 原 = 0 0000000， 原 = 1 0000000。

反碼

在反碼中，最高位是符號(hào)位，0表示正號(hào)，1表示負(fù)號(hào)，正數(shù)的反碼與原碼相同，負(fù)數(shù)的反碼是其絕對(duì)值按位取反。數(shù)值0的反碼有兩種表示形式： 反 = 0 0000000， 反 = 1 1111111。

補(bǔ)碼

在補(bǔ)碼中，最高位是符號(hào)位，0表示正號(hào)，1表示負(fù)號(hào)，正數(shù)的補(bǔ)碼與原碼和反碼相同，負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼等于其反碼的末位加1。在補(bǔ)碼的表示中，0有唯一的補(bǔ)碼： 補(bǔ) = 0 0000000， 補(bǔ) = 0 0000000。

移碼

移碼表示法是在數(shù)X上增加一個(gè)偏移量來(lái)定義的，常用于表示浮點(diǎn)數(shù)中的階碼。如果機(jī)器字長(zhǎng)為n，規(guī)定偏移量為 2^n-1^。

實(shí)際上，在偏移 2^n-1^的情況下，只要將補(bǔ)碼的符號(hào)位取反就可以獲得相應(yīng)的移碼。

碼制總結(jié)

我們來(lái)看下面的表格，這里，我直接使用八位的二進(jìn)制數(shù)來(lái)表示相應(yīng)的數(shù)值。

通過(guò)表格我們發(fā)現(xiàn)：

• 正數(shù)的原碼、反碼和補(bǔ)碼是相同的。
• 負(fù)數(shù)的反碼是原碼除符號(hào)位外，其他位分別取反；
• 負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼是其反碼的末位加1。
• 移碼是在補(bǔ)碼的基礎(chǔ)上符號(hào)位取反得到。

在負(fù)數(shù)的原碼和補(bǔ)碼的轉(zhuǎn)換中，我們可以得出如下結(jié)論：

• 負(fù)數(shù)的原碼轉(zhuǎn)補(bǔ)碼是在原碼的基礎(chǔ)上除符號(hào)位外，其他位取反，然后末位加1。
• 負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼轉(zhuǎn)原碼是在補(bǔ)碼的基礎(chǔ)上除符號(hào)位外，其他位取反，然后末位加1。

也就是說(shuō)，負(fù)數(shù)的原碼轉(zhuǎn)補(bǔ)碼和補(bǔ)碼轉(zhuǎn)原碼的規(guī)則是一樣的。小伙伴們可以根據(jù)表格自行驗(yàn)證

計(jì)算機(jī)使用補(bǔ)碼進(jìn)行加減法運(yùn)算

我們?cè)賮?lái)看表格的最后一列 1-1，在計(jì)算機(jī)中，表示為1+(-1)，其正確的結(jié)果應(yīng)該為0。接下來(lái)，我們分別分析下使用原碼、反碼、補(bǔ)碼和移碼進(jìn)行加減法運(yùn)算的結(jié)果的正確性。

• 表格的第一行中，使用原碼計(jì)算的結(jié)果為1000 0010，轉(zhuǎn)換為10進(jìn)制數(shù)為-2，1-1不等于-2，所以，使用原碼進(jìn)行加減法運(yùn)算的結(jié)果是錯(cuò)誤的。
• 在反碼中，計(jì)算1-1的結(jié)果為1111 1111，顯然結(jié)果不為0，所以，使用反碼進(jìn)行加減法運(yùn)算的結(jié)果是錯(cuò)誤的。
• 在補(bǔ)碼中，計(jì)算1-1的結(jié)果為0000 0000，結(jié)果為0，所以， 使用補(bǔ)碼進(jìn)行加減法運(yùn)算的結(jié)果是正確的。
• 在移碼中，計(jì)算1-1的結(jié)果為1000 0000，結(jié)果為-0，雖然-0也等于0，但是嚴(yán)格意義來(lái)講，這個(gè)結(jié)果是不正確的。

在計(jì)算機(jī)中，不會(huì)使用移碼進(jìn)行加減法運(yùn)算，移碼用于浮點(diǎn)數(shù)的階碼。