摘要

本文聚焦Pierce架構(gòu)晶體振蕩器的臨界跨導(dǎo)，闡述其物理內(nèi)涵，并通過嚴(yán)格、逐步的推導(dǎo)過程幫助讀者準(zhǔn)確理解其本質(zhì)。

引言

晶體振蕩器是電子系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)精確計(jì)時(shí)的關(guān)鍵器件，大多數(shù)工程師都熟悉其基本原理。設(shè)計(jì)中廣泛使用臨界跨導(dǎo)和最優(yōu)跨導(dǎo)的計(jì)算公式，但這些公式究竟從何而來，卻很少被深入討論。本文旨在揭示這些公式背后的推理過程。文章將從晶體的阻抗、Pierce振蕩器拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)等基本概念入手，結(jié)合振蕩器反饋策略，逐步進(jìn)行推導(dǎo)。通過循序漸進(jìn)的電路分析，本文將說明這些公式是如何得出的，從而幫助讀者不僅掌握公式本身，而且真正理解其來源和重要性。

設(shè)置頻率

晶振是一種由石英制成的小型元件，其工作原理基于壓電效應(yīng)：當(dāng)施加電場(chǎng)時(shí)，晶體會(huì)產(chǎn)生機(jī)械振動(dòng)；反之，當(dāng)受到機(jī)械應(yīng)力時(shí)，晶體會(huì)產(chǎn)生電響應(yīng)。晶振的電氣行為可以用圖1所示的電路模型來描述。

圖1.石英晶振等效電氣模型

晶振本身可在如下特定頻率下表現(xiàn)出串聯(lián)諧振：

而在并聯(lián)模式下，它也會(huì)在如下特定頻率下表現(xiàn)出反諧振：

將一個(gè)額外電容CL與晶振并聯(lián)時(shí)，晶振受到負(fù)載作用，其振蕩頻率變?yōu)椋?

通常，Cm ? CS，這意味著串聯(lián)諧振頻率與并聯(lián)諧振頻率（fS和fP）非常接近。有趣的是，負(fù)載狀態(tài)下的振蕩頻率總是介于fS和fP之間。

Pierce配置（圖2）是一種廣泛使用的晶體振蕩器拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

圖2.Pierce振蕩器電路

電阻RF將反相器偏置到其線性工作區(qū)，從而設(shè)置直流工作點(diǎn)，而不會(huì)顯著影響交流環(huán)路行為。對(duì)于交流分析，其影響可以忽略不計(jì)，故不予考慮。在本文中，反相器用理想跨導(dǎo)(Gm)來建模。

振蕩器系列：正反饋與負(fù)阻

諧波振蕩器主要分為兩類：正反饋振蕩器和負(fù)阻振蕩器。

正反饋振蕩器的工作原理是將一部分輸出信號(hào)以恰當(dāng)?shù)姆群拖辔环答伒捷斎攵耍詽M足Barkhausen穩(wěn)定性判據(jù)：

其中，A為增益，B為反饋傳遞函數(shù)。這種方法通常用在增益和反饋路徑明確界定的場(chǎng)合，例如文氏電橋或環(huán)形振蕩器。

負(fù)阻振蕩器則通過抵消電路中阻性（有耗）元件產(chǎn)生的能量損耗，實(shí)現(xiàn)能量在電抗性元件之間的自由傳遞。振蕩的條件變?yōu)椋?

當(dāng)存在諧振器時(shí)，例如LC諧振電路或晶體，這一視角會(huì)更為直觀。常見的例子有Hartley、Colpitts和Clapp振蕩器。

這兩種方法盡管在概念上有所不同，并依賴于不同的分析視角，但描述的是相同的物理現(xiàn)象。

臨界Gm在晶體振蕩器中的重要性

在晶體振蕩器電路的關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)中，跨導(dǎo)起著核心作用。如果Gm太低，振蕩器將無法起振。這種故障既隱蔽又讓人頭疼。為了確?？煽康仄鹫?，Gm必須超過一個(gè)閾值，即臨界Gm。

經(jīng)驗(yàn)法則的陷阱

有時(shí)我們會(huì)看到一個(gè)用于估算臨界跨導(dǎo)的簡(jiǎn)化表達(dá)式：

此近似公式大致源于Barkhausen判據(jù)和諧振行為。對(duì)于串聯(lián)諧振，晶振的阻抗簡(jiǎn)化為Z ≈ Rm（忽略CS），環(huán)路增益近似為A × B = Gm × Rm > 1。然而，此模型未能準(zhǔn)確反映Pierce振蕩器的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，導(dǎo)致所得結(jié)果不僅錯(cuò)誤，甚至與預(yù)期行為背道而馳。如后文所示，提高Rm實(shí)際上要求Gm隨之提升。

產(chǎn)生負(fù)阻

如前所述，由于電路包含諧振器，因此負(fù)阻方法是更合適的分析方法。產(chǎn)生負(fù)阻的一種簡(jiǎn)單方法是查看拓?fù)涞妮斎胱杩?，如圖3所示。

圖3.產(chǎn)生負(fù)阻

計(jì)算VX處的動(dòng)態(tài)阻抗，驗(yàn)證其具有如下形式：

這就產(chǎn)生了一個(gè)負(fù)阻，其值等于

晶振所看到的交流電路等效于圖4所示電路。

圖4.等效電路

若僅考慮動(dòng)態(tài)支路（假設(shè)CS可忽略不計(jì)），則實(shí)現(xiàn)振蕩的條件為Gm > 4 × Rm × (CL × ω)2。

傳統(tǒng)方法

一種簡(jiǎn)便的方法是將分流電容視為晶振阻抗Zx的一部分（見圖5）。

圖5.晶振的阻抗

使用基本阻抗變換可得出：

該阻抗的實(shí)部可表示為：

為了抵消阻性損耗，負(fù)阻必須等于動(dòng)態(tài)電阻：

由此得到如下二次方程：

通過計(jì)算判別式Δ，我們就能確定是否存在實(shí)數(shù)解(∈?)。

如果判別式Δ為負(fù)，則系統(tǒng)沒有實(shí)數(shù)解。如果Δ為正，則方程有兩個(gè)滿足條件的Gm值，這兩個(gè)值之間的任何數(shù)值都可能導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生振蕩。下限稱為臨界跨導(dǎo)Gm_CRIT，這是起振所需的最小值。上限稱為最大跨導(dǎo)Gm_MAX，超過此值即無法維持穩(wěn)定振蕩。精確值可利用數(shù)值求解器確定。

求解這個(gè)條件：

可確定最優(yōu)跨導(dǎo)，此時(shí)晶振阻抗的負(fù)實(shí)部取得最大值。結(jié)果得到如下表達(dá)式：

當(dāng)Gm從0增大到+∞時(shí)，晶振阻抗在復(fù)平面上演變。這一演變過程展示了從臨界Gm，經(jīng)過最優(yōu)Gm，直到最大Gm的轉(zhuǎn)變。在此范圍之外，損耗得不到補(bǔ)償，系統(tǒng)無法維持振蕩（見圖6）。

圖6.復(fù)平面中的阻抗

我們主要關(guān)注的值通常是Gm_CRIT。假設(shè)Gm × C 2 ? 4 × (C × C + C 2)2 × ω2，則阻抗Z可近似為：

這種簡(jiǎn)化有時(shí)稱為“小Gm近似”。其物理機(jī)制在于：晶振的品質(zhì)因數(shù)非常高（通常在10,000至100,000量級(jí)），Rm很小，故相關(guān)損耗極小。因此，負(fù)阻抗電路(Gm)產(chǎn)生的影響應(yīng)該極小。根據(jù)這一假設(shè)，臨界Gm可用更緊湊的形式表示：

彎路不枉，終得灼見

之前的方法將晶振視為一般阻抗，而沒有區(qū)分其電阻性和電抗性分量。還有一種替代方法，其推導(dǎo)過程稍長(zhǎng)，但能帶來更深層次的洞察，并在實(shí)際應(yīng)用中具有明顯優(yōu)勢(shì)。

首先，對(duì)晶振的動(dòng)態(tài)支路進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，將其感性和容性元件合并為單一的電抗項(xiàng)X。為了保持符號(hào)的一致性，分流電容的電抗定義為jXS，其中XS = -1/(CS × ω)。

圖7.另一晶振模型

晶振的阻抗（A和B之間）可以寫成：

節(jié)點(diǎn)A和B之間的有效電阻對(duì)應(yīng)于這些點(diǎn)上看到的阻抗的實(shí)部：

將晶振連接到負(fù)載電容后，電路示意圖如圖8所示。

圖8.負(fù)載狀態(tài)下的另一晶振模型

在諧振狀態(tài)下，電抗性分量相互抵消，因此：

將此結(jié)果帶入之前的REQ方程可得：

上式可簡(jiǎn)化為：

如果假設(shè)：

成立，則放大器處看到的晶振等效電阻可近似為：

此公式揭示了晶振內(nèi)部功耗、動(dòng)態(tài)電阻Rm和電容比CS/CL之間的定量關(guān)系。晶振存在最大允許功耗，超過此值會(huì)影響其長(zhǎng)期可靠性?，F(xiàn)在可估算功耗有效值Prms = REQ × Irms2，以驗(yàn)證振蕩器是否在安全驅(qū)動(dòng)電平范圍內(nèi)運(yùn)行。

遺憾的是，REQ這一術(shù)語常被稱為等效串聯(lián)電阻(ESR)，其在振蕩器設(shè)計(jì)中的用法并不統(tǒng)一。在某些語境下，ESR指的是放大器所看到的有效電阻（即所謂的REQ）。在其他語境下，則表示動(dòng)態(tài)電阻（電氣串聯(lián)電阻），代表晶振本身的固有損耗（即所謂的Rm）。更令人困惑的是，有些供應(yīng)商將Rm標(biāo)注為ESR，而某些文檔在計(jì)算臨界Gm時(shí)，又使用ESR指代Rm。通常，CS遠(yuǎn)小于CL，因此Rm和REQ在數(shù)值上很接近。這或許可以解釋為什么二者之間的區(qū)別經(jīng)常被忽略。希望這一澄清能幫助讀者區(qū)分二者，從而在計(jì)算起振條件、諧振頻率或估算驅(qū)動(dòng)電平時(shí)，能夠選用最合適的值。

回到等效電路，振蕩器現(xiàn)在可用圖9所示電路來表示。

圖9.另一等效電路

同樣，為了維持振蕩，放大器所呈現(xiàn)的負(fù)阻必須抵消晶振所看到的等效電阻：

對(duì)公式26進(jìn)行整理后，可得到與此前推導(dǎo)出的相同的臨界跨導(dǎo)表達(dá)式：

四倍法則

本質(zhì)上，臨界Gm代表維持振蕩所需的精確數(shù)學(xué)閾值。它確保晶振中損失的能量恰好被放大器補(bǔ)償。然而，為了保證晶振在實(shí)際條件下可靠地起振，設(shè)計(jì)人員通常會(huì)刻意加大Gm。此舉考慮了Rm偏差、驅(qū)動(dòng)電平依賴性和起振動(dòng)態(tài)變化所帶來的影響。在實(shí)踐中，通常采用4倍安全系數(shù)，以確保系統(tǒng)在溫度變化、老化和工藝變化等條件下依然穩(wěn)健可靠。

結(jié)語

本文闡釋了為什么臨界Gm對(duì)于晶體振蕩器的起振和穩(wěn)定性至關(guān)重要。文中探討了它與Rm、CS和CL的依賴關(guān)系，指出了單純依賴1/Rm的常見陷阱，并提出了兩種相互補(bǔ)充的求解方法。每種方法都提供了獨(dú)特的洞見：一種方法能夠全面呈現(xiàn)系統(tǒng)的工作范圍，另一種方法則揭示了其與驅(qū)動(dòng)電平之間的主要關(guān)系。理解這些原理有助于設(shè)計(jì)人員克服經(jīng)驗(yàn)法則的局限，轉(zhuǎn)而通過精確計(jì)算來確保系統(tǒng)在實(shí)際條件下可靠地起振并穩(wěn)健地運(yùn)行。

參考文獻(xiàn)

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