本文將從數學角度探討調相(PM)與調頻(FM)的關系，闡述如何利用調相調制器生成調頻信號（反之亦然）。角度調制技術分為調相(PM)與調頻(FM)兩類：本系列前文通過波形實例解析了信息信號對調相波的影響，接下來我們將從數學層面拓展討論范圍，建立兩種調制的瞬時頻率表征模型。

通過瞬時頻率概念，我們將構建兩類信號的數學模型，進而揭示兩種角度調制形式的內在關聯。研究表明：調相與調頻具有高度關聯性，只需添加輔助電路即可實現調制器交叉生成另一種調制信號。

調相波：相位與頻率的數學關系
角度調制信號可表征為具有恒定振幅的正弦函數，其輻角θi隨傳輸的信息信號變化：

我們將θi稱為瞬時角度或瞬時相位。在調相(PM)中，瞬時角度隨信息信號線性變化：

其中：
fc 表示載波頻率
kp 為比例常數
m(t) 代表信息信號

圖1展示了由正弦信息信號生成的調相波：載波頻率fc=80 Hz，比例常數kp=25 rad/V。

圖1. 正弦信息信號（上圖）及其對應的調相波（下圖）。

如圖所示，信息波形的下降沿導致輸出頻率降低，而上升沿則使輸出頻率升高。前文已通過多個實例說明信息信號上升/下降沿如何影響調相波頻率。

此現象的另一解釋視角是：當信息信號隨時間增大時，其在2πfct產生的相位項（見公式2）基礎上疊加了遞增項，導致調制波相位更快完成完整周期，表現為頻率升高。換言之，在m(t)的正斜率區(qū)間調相波呈現壓縮特性。

反之，當信息信號隨時間減小時，其引入的負相位變化會抵消部分2πfct項產生的正相位變化，使調制波完成完整周期所需時間延長，導致頻率降低。即：在m(t)的負斜率區(qū)間調相波呈現拉伸特性。

為深入理解該原理，考慮載頻fc=100 Hz時的正弦函數：

其中φ(t)表示附加相位偏差。圖2展示了該正弦波在三種不同φ(t)條件下的1/4周期波形：
條件1：φ(t) = 0
條件2：φ(t) = 90 – 100t
條件3：φ(t) = 90 + 100t

圖2. 公式3所述波形在三種不同φ(t)條件下的1/4周期圖示。

圖中藍色曲線（φ(t) = 0）代表未調制波，其1/4周期完整占據0至2.5 ms區(qū)間。

紅色曲線（φ(t) = 90 + 100t）對應信息信號隨時間增大的調相波。此時φ(t)產生的正相位變化與2πfct項相位變化疊加，導致0至2.5 ms區(qū)間內容納超過1/4個周期。

綠色曲線（φ(t) = 90 – 100t）代表相位項遞減的調相波。φ(t)的負相位變化部分抵消2πfct項的正相位變化，致使0至2.5 ms區(qū)間內包含不足1/4個周期。

瞬時頻率
頻率為fc、振幅為Ac、初始相位為φ0的未調制信號，可用以恒定角速度2πfc旋轉的相量表示（圖3a）。角度調制信號則表現為振幅恒為Ac、但角速度隨時間變化的旋轉相量（圖3b）。

圖3. 未調制信號(a)與角度調制信號(b)的相量表示

現在深入分析角度調制波。如何表征其旋轉頻率？當θi變化2π弧度時，對應相量完成整周旋轉。因此，從t到(t+Δt)時段內的平均頻率（赫茲）可通過下式求得：

對于頻率為fc、初始相位為φ0的未調制載波，該方程可導出：由此可見，未調制載波的平均頻率恒等于fc。對于角度調制信號，平均頻率取決于觀測時段內信息信號的取值。但當公式4中的Δt趨近于零時，所得頻率可解釋為旋轉相量的瞬時頻率fi(t)。此時方程可改寫為θi的時間導數形式：

由該方程可得，對應相量的角速度恒等于2πfi(t) rad/s。

運用瞬時頻率概念可解釋圖1調相波的行為特性：將公式2的θi代入瞬時頻率方程后表明——信息信號隨時間增大時輸出頻率升高，反之則降低。

這表明：當信息信號隨時間增大時，輸出頻率上升；反之當信息信號減小時，輸出頻率下降。

PM與FM信號表征
理解瞬時相位和瞬時頻率基礎后，可用二者統一描述PM與FM方案。將瞬時相位寫作：

其中?(t)表示相位偏差，則公式1描述的角度調制波可表示為：

（嚴格遵循要求：

這表明瞬時相位是由2πfct項設定的中心值與?(t)之和。兩種角度調制形式中，?(t)均取決于信息信號。對于PM，?(t)與信息信號成正比：

其中kp為比例常數。若m(t)為電壓量，則kp單位為rad/V（弧度/伏特）。

公式9所述調制波的瞬時頻率由瞬時相位的導數決定：

瞬時頻率中隨信息信號變化的部分稱為頻率偏移：在調頻(FM)系統中，頻率偏移與信息信號成正比：

其中kf為頻率偏移常數。若m(t)為電壓量，則kf單位為Hz/V（赫茲/伏特）。

對上述方程積分可得?(t)，代入公式8即得調頻信號方程：

需注意：積分通常會產生常數項，但假設未調制波在t=0時相位角為零，故可消除該常數項。

關于常數項，需說明比例常數kp有多種命名：在不同文獻中可稱為相位偏差常數、調制器相位靈敏度、相位調制指數或簡稱調制指數。同理，頻率偏移常數kf亦稱調制器頻率靈敏度。

FM與PM的轉換關系
當輸入信號滿足特定關系時，調頻與調相調制器可產生相同輸出。對比公式14與調相方程：

由公式14和15可得，兩種調制方法產生相同輸出需滿足：

其中：
mf(t) 為調頻調制器輸入信號
mp(t) 為調相調制器輸入信號

公式16表明：若mp(t)是mf(t)的積分，則調相與調頻電路輸出相同。簡言之，在調相器輸入端添加積分器即可生成調頻信號（圖4）。

圖4. 利用調相器生成調頻波公式16亦表明：若調頻調制器輸入信號等于調相調制器輸入信號的導數，兩者輸出相同。這意味著對信息信號微分后輸入調頻調制器，即可生成調頻信號（圖5）。圖5. 通過調頻調制器生成調相波例如圖6左上部分所示的方波信息信號m(t)：

圖6. 左上：方波信息信號；左下：對應調頻波；右上：未調制鋸齒波；右下：對應調相波

左下象限顯示該方波信息對應的調頻波（fc=5 Hz, kf=1.59 Hz/V）。右上象限為鋸齒波，右下象限展示其在kp=10 rad/V時的調相波。

二者并置時調制波形完全一致。由于方波積分可得鋸齒信號，此現象符合預期。

結論
本文通過數學分析深化了對角度調制（PM與FM）的理解?；谒矔r頻率概念，我們探究了調相與調頻方法的緊密關聯。期望本文能助您深入理解這些調制技術及其產生信號的時域特性。