高斯白噪聲的功率密度

高斯白噪聲是指噪聲的概率密度函數(shù)滿足正態(tài)分布統(tǒng)計特性，同時它的功率譜密度函數(shù)是常數(shù)的一類噪聲。這里值得注意的是，高斯型白噪聲同時涉及到噪聲的兩個不同方面，即概率密度函數(shù)的正態(tài)分布性和功率譜密度函數(shù)均勻性，二者缺一不可。

在通信系統(tǒng)的理論分析中，特別是在分析、計算系統(tǒng)抗噪聲性能時，經(jīng)常假定系統(tǒng)中信道噪聲為高斯型白噪聲。一是因為高斯型白噪聲可用具體的數(shù)學(xué)表達式表述，便于推導(dǎo)分析和運算;二是高斯型白噪聲確實反映了實際信道中的加性噪聲情況，比較真實地代表了信道噪聲的特性。

高斯噪聲的一維概率密度函數(shù)可用數(shù)學(xué)表達式表示為：

其中：

μ：數(shù)學(xué)期望，表示噪聲分布中心，即均值

σ2：方差

σ：標(biāo)準(zhǔn)偏差

δ：隨機誤差(δ=χ-μ)

通常，通信信道中噪聲的均值μ=0(高斯白噪聲)。由此，我們可得到一個重要的結(jié)論：在噪聲均值為零時，噪聲的平均功率等于噪聲的方差σ2。

高斯白噪聲的峰均比

如果對高斯白噪聲進行足夠時間的測試和統(tǒng)計，峰均比K約為10dB(99.8%概率)或最大12dB(99.99%概率)，如表1所示。

表1 在足夠長時間條件下高斯白噪聲的峰均比

圖1 p(ρ)和p(?)的波形

窄帶高斯噪聲的統(tǒng)計分布

一個均值為零，方差為σ2的窄帶高斯噪聲，假定它是平穩(wěn)隨機過程，則其隨機包絡(luò)服從瑞利分布，相位?服從均勻分布。頻譜儀中頻帶寬內(nèi)的噪聲和大多數(shù)通信系統(tǒng)噪聲滿足此條件，如圖1所示。即：

頻譜儀功率測試原理

根據(jù)現(xiàn)代超外差式頻譜分析儀原理(見圖2)，進入頻譜儀的射頻信號經(jīng)過混頻器變?yōu)橹蓄l，中頻濾波器對此信號的帶寬進行限制(RBW)，再經(jīng)電壓包絡(luò)進行檢波，然后經(jīng)視頻濾波器，最后通過數(shù)字檢波器的計算得到測試頻譜。

圖2 現(xiàn)代超外差式頻譜分析儀原理框圖

可以明確：對于正弦連續(xù)波的功率測試，只要信噪比足夠高，頻譜儀的測試設(shè)置相對簡單，本文不做過多敘述。本文主要針對模擬和數(shù)字調(diào)制信號以及噪聲信號進行準(zhǔn)確功率測試的原理分析及儀器設(shè)置，并對其帶來的誤差項進行評估。

檢波器的作用及類型

現(xiàn)代頻譜儀的檢波器通常是數(shù)字的，是一些加權(quán)算法，是對視頻信號的處理和計算。對應(yīng)頻譜上每一個顯示像素點，都有N個采樣值，如圖3所示。

圖3 中頻信號經(jīng)包絡(luò)檢波器和視頻濾波器輸出視頻信號及其采樣

檢波器有多種，包括自動峰值檢波器、最大(小)峰值檢波器、平均值檢波、均方根檢波器(RMS)等。

RMS檢波器中計算對應(yīng)于每個像素點的所有采樣值的均方根。結(jié)果為像素點對應(yīng)頻寬內(nèi)的信號功率。在RMS計算時，包絡(luò)的采樣值要求采用線性刻度，且：

檢波器和平均功率

現(xiàn)代頻譜儀的檢波器包括兩部分：包絡(luò)檢波器獲得正弦波的均方根值(峰值電壓的0.707倍);數(shù)字檢波器為取值加權(quán)算法。頻譜儀內(nèi)的檢波器是電壓檢波器，頻譜儀顯示功率測試值的方法是：Pi=Vi2/R，頻譜儀通常是50歐姆阻抗，因此：

其中pi是頻譜功率顯示點，Vi是電壓采樣點，R是頻譜儀阻抗。

根據(jù)以上推論，要通過頻譜儀獲得平均功率，必須選擇真正的RMS檢波器。

為什么要平均

對于噪聲和類噪聲信號的頻譜，需要對蹤跡進行平滑以獲得穩(wěn)定的讀數(shù)，也就是頻譜儀對測試結(jié)果進行平均。平均的結(jié)果是對噪聲和類噪聲信號進行平滑，即去除頻譜“毛刺”，對于單頻點連續(xù)波信號的測試值來說，結(jié)果沒有改變。

由于頻譜儀進行功率測試時，功率值是通過電壓采樣和檢波值計算而得，因此，測試人員必須清楚由于平均對測試值帶來的影響，否則就會得到錯誤結(jié)論。

根據(jù)概率論，帶內(nèi)高斯噪聲分布為瑞利分布。對于瑞利分布的噪聲，當(dāng)采樣足夠多時，標(biāo)準(zhǔn)偏差(σ)與平均誤差(算術(shù)平均值)(

)之間具有如下關(guān)系：

對于頻譜儀來說，中頻信號經(jīng)包絡(luò)檢波器后獲得電壓有效值(RMS)，因此平均誤差(

)幅度包絡(luò)要除以，因此，在頻譜儀測試過程中，

所以，在頻譜儀測試時，電壓包絡(luò)線性平均值對應(yīng)的功率值(

2)比真正的平均功率(RMS檢波所對應(yīng)的s2)小1.05dB。
 

對數(shù)平均與線性平均的關(guān)系

根據(jù)窄帶高斯噪聲的統(tǒng)計分布，帶內(nèi)高斯噪聲分布為瑞利分布。

式中，ρ為噪聲隨機包絡(luò)，?為噪聲的隨機相位。

電壓采樣值線性平均后取對數(shù)：

電壓采樣值對數(shù)值平均(幾何平均)：

可見，對于窄帶高斯白噪聲，對數(shù)平均比線性平均低1.45dB。即頻譜儀測試時，采用對數(shù)平均(對數(shù)放大器打開)，對于電壓測試值來說，幅度包絡(luò)進行對數(shù)加權(quán)運算，對大信號放大的增益小，對小信號放大的增益大。在對數(shù)平均的情況下，要比線性平均小1.45dB，比真實平均功率小2.5dB。

頻譜儀實現(xiàn)平均的方式

頻譜儀實現(xiàn)平均的主要方式有四種：減小視頻濾波器(VBW)使其小于中頻帶寬(RBW);平均值檢波器(AV) ;RMS檢波器;多次測量結(jié)果進行算術(shù)平均來作蹤跡平滑。

視頻濾波器是置于電壓包絡(luò)檢波器之后，數(shù)字加權(quán)檢波器之前的數(shù)字低通濾波器。視頻濾波器對電壓包絡(luò)采樣值在頻域進行低通濾波，相當(dāng)于時域采樣值的平均。

AV檢波器是對視頻信號進行算術(shù)平均，獲得電壓平均值;RMS檢波器是對視頻信號進行均方根運算，能夠獲得功率平均值。

由取樣檢波器得到的平均噪聲電平，當(dāng)使用對數(shù)電平顯示時，其平均值低1.45dB。當(dāng)使用線性電平顯示且大的視頻帶寬時(如VBW≥10RBW)，可和AV檢波器一樣得到真實的平均結(jié)果。

對于自動峰值檢波器，不建議使用多蹤跡平均。若打開平均功能，通常會自動切換到取樣檢波。

使用RMS檢波器進行平均功率測試時，不允許過程中插入電壓平均功能。因此，通常此時不允許進行蹤跡平均，同理也不允許通過VBW進行平均，一般設(shè)VBW≥3RBW。根據(jù)平均功率和對數(shù)平均與線性平均值的關(guān)系，如果在使用RMS檢波器時加入了上述平均設(shè)置，會使測試結(jié)果比實際值小2.5dB (其中包括線性平均的1.05dB和對數(shù)平均的1.45dB) 。

頻譜儀常用功率測試方法及信號處理算法

在頻譜儀的應(yīng)用領(lǐng)域內(nèi)，不管是通信信號的測試還是其它調(diào)制信號的測試，如廣播、電視以及軍用信號，通常在信號帶寬內(nèi)對整個信號平均功率的測試是十分重要的。以下將對兩種主要的測試方法進行分析，以避免頻譜儀使用過程中的錯誤設(shè)置。
 

信道功率

信道功率測試功能通過對信道帶寬內(nèi)的功率密度積分來進行信道功率的測量，獲得信道帶寬內(nèi)的平均功率。

其中，PCH為信道功率，PD為功率密度，CHBW為信道帶寬。

在應(yīng)用中，上述算法會在選擇的信道帶寬內(nèi)對像素點的線性值(Pi)求和后除以像素點數(shù)，再除以中頻濾波器噪聲帶寬，乘以信道帶寬，最后取對數(shù)。

其中：

BCH為信道帶寬，單位為Hz;

BN,IF中頻濾波器的噪聲帶寬，單位為Hz。

分辨率帶寬(RBW)相對于要進行精確測量的信道帶寬要很小。通常設(shè)為1%~3%的信道帶寬。

信道功率測量一般采用RMS檢波器，因為它得到的結(jié)果可以進行功率計算獲得真正的信道內(nèi)平均功率。有時可用采樣檢波器，但是測試結(jié)果存在偏差。由于對噪聲或類似噪聲的信號不能找出峰值或均值檢波出的視頻電壓與輸入信號功率的關(guān)系，因此不應(yīng)采用峰值檢波和均值檢波。有些通信測試標(biāo)準(zhǔn)尤其是時分信號采用峰值檢波檢測瞬態(tài)功率，而不是平均功率。

當(dāng)使用采樣檢波器時，如果顯示的頻譜范圍相對于分辨率帶寬很大，離散的信號分量(正弦波信號)可能由于頻譜儀有限的屏幕像素點而被漏掉顯示，因此信道或鄰道功率的測量就不正確。因為數(shù)字調(diào)制信號是類噪聲信號，取樣檢波得到蹤跡就會類似噪聲，不穩(wěn)定。為了得到穩(wěn)定的結(jié)果，需要采用蹤跡平均，但平均后的信號測試結(jié)果會偏離真實值。

當(dāng)選擇使用RMS檢波器時，每個像素點對應(yīng)的功率是從多個電壓測量值中得到的均方根結(jié)果，V2RMS對應(yīng)的功率P是真正的平均功率。

通過增大掃描時間，每一像素點對應(yīng)更多的電壓采樣值Vi，達到蹤跡平滑的目的。因此，測量信道功率時選擇RMS檢波器優(yōu)于取樣檢波器。

當(dāng)使用RMS檢波器或取樣檢波器時，通常此時不允許進行蹤跡平均，同理也不允許通過VBW進行平均，一般設(shè)VBW≥3RBW。

當(dāng)被測信號為脈沖和時分通信信號時，可加入時間門控功能，進行時隙內(nèi)平均功率測試。

時域功率

根據(jù)頻譜儀測試原理，如果選擇的中頻帶寬RBW大于信號帶寬，且VBW>RBW，設(shè)頻譜儀掃描寬度SPAN=0，此時頻譜儀的本振停止掃描，在中頻帶寬內(nèi)進行單一頻點的時域測量，顯示橫軸為時間、縱軸為幅度(功率)，顯示的蹤跡對應(yīng)檢波以后的電壓采樣值。本功能對于脈沖信號和時分通信信號的功率測試十分有用。

在頻譜儀內(nèi)部集成了一些算法，可以在設(shè)定的時間段內(nèi)進行功率計算。要獲得準(zhǔn)確的功率測量結(jié)果，必須合理設(shè)置加權(quán)檢波器和功率算法。通常采用的是采樣值檢波器。

采樣值檢波器蹤跡顯示的是電壓包絡(luò)采樣值Vi。根據(jù)檢波器和平均功率的關(guān)系，如果要得到平均功率，需要選擇算法“RMS”;如果要得到峰值包絡(luò)功率，選擇“PEAK”;如果選擇“MEAN”，則對應(yīng)平均電壓，沒有與其對應(yīng)的功率值。

深入了解頻譜儀時域測試原理后，有時也可采用RMS檢波方式。此時采用PEAK功率算法，獲得設(shè)定時間段內(nèi)的最大平均功率;選擇“MEAN”獲得設(shè)定時間段內(nèi)的平均功率。這種方法有時會在時分通信信號測試中，對不同時隙功率進行測試時采用。

功率測試時頻譜儀設(shè)置規(guī)則總結(jié)

綜合文中所述，可以歸納出幾點在功率測試中應(yīng)注意的事項，有助于正確利用頻譜儀，并得出較為準(zhǔn)確的測試結(jié)果。

r頻譜儀RMS檢波對應(yīng)平均功率

r高斯白噪聲的峰均比為10dB~12dB

rRMS檢波時，不允許進行蹤跡平均，同時VBW≥3RBW

r需要平滑蹤跡時，注意對數(shù)平均的結(jié)果小于線性平均(如1.45dB)

r信道功率測量

• 一般采用RMS檢波

• 不允許進行蹤跡平均

• VBW≥3RBW

• 否則測試值會比實際值小(最大2.51dB)

r時域功率測量

•用來測試脈沖和時分通信信號功率

•通常采用采樣值檢波

•VBW>RBW且RBW>信號帶寬