高速公路宏觀(guān)動(dòng)態(tài)交通流模型以交通流的集總行為為研究對(duì)象，描述了交通流的空間分布及隨時(shí)間變化的規(guī)律，能較精確地描述高速公路交通流的真實(shí)行為，不僅是交通自動(dòng)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)、分析、仿真決策的基礎(chǔ)，也是交通預(yù)報(bào)和評(píng)價(jià)某些交通設(shè)施設(shè)計(jì)所需要的。其中，希臘學(xué)者M(jìn)arkos Papageorgiou所提出的Papageorgiou模型，能夠以較小的計(jì)算量和滿(mǎn)意的精度描述車(chē)道數(shù)目單一、出入匝道無(wú)特大流量沖擊的高速公路交通狀況而廣泛應(yīng)用。

對(duì)交通流模型進(jìn)行在線(xiàn)仿真，或驗(yàn)證某算法對(duì)實(shí)際道路的控制效果時(shí)，有時(shí)由于交通數(shù)據(jù)龐大或控制算法過(guò)于復(fù)雜，往往消耗大量機(jī)時(shí)。尤其在外場(chǎng)環(huán)境下操作，工控機(jī)不僅體積、功耗龐大，還易出現(xiàn)工作失常的現(xiàn)象，在交通控制的實(shí)際應(yīng)用中表現(xiàn)欠佳。FPGA技術(shù)高速、低成本、小型化的優(yōu)勢(shì)使其理論研究與實(shí)際應(yīng)用成為炙手可熱的研究課題，目前已經(jīng)完全具備數(shù)據(jù)運(yùn)算、信息處理、濾波計(jì)算等功能，常常使一些原來(lái)比較難解決的技術(shù)瓶頸得以輕松實(shí)現(xiàn)，從而使產(chǎn)品的可移植性增強(qiáng)，開(kāi)發(fā)周期大為縮短，性?xún)r(jià)比大幅提高，同時(shí)FPGA可以實(shí)現(xiàn)純硬件浮點(diǎn)運(yùn)算功能，克服定點(diǎn)數(shù)據(jù)對(duì)高精度、數(shù)據(jù)范圍較大的運(yùn)算無(wú)能為力的缺陷，更適合科學(xué)與工程計(jì)算。因此本文采用浮點(diǎn)數(shù)在FPGA上實(shí)現(xiàn)Papa georgiou模型的仿真。

1 高速公路交通流宏觀(guān)動(dòng)態(tài)模型

宏觀(guān)動(dòng)態(tài)交通流模型又稱(chēng)為交通流連續(xù)介質(zhì)模型，它通過(guò)對(duì)單向運(yùn)動(dòng)的交通流在某時(shí)刻t在某一位置x的有關(guān)變量來(lái)把握交通的本質(zhì)。各研究組織所提出多種形式交通流模型，其間主要差別在于交通流量、車(chē)輛平均速度和車(chē)流密度的關(guān)系的表征，以及上下游交通相互作用的描述形式。為了簡(jiǎn)化模型使其便于應(yīng)用在實(shí)際中，通常根據(jù)高速公路幾何形狀和交通狀態(tài)將其劃分成若干路段，路段可不等距劃分，但應(yīng)保證每段路段車(chē)道數(shù)目相同，至多有一個(gè)入口、一個(gè)出口，每個(gè)路段的幾何形狀大致相似，每個(gè)路段內(nèi)的交通狀態(tài)近似均一，Papageorgiou模型也采用如圖1所示的分段方式：

基于上述高速公路的分段方式，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如式(1)～(4)所示：

式(1)～(4)分別是動(dòng)態(tài)流量模型、動(dòng)態(tài)交通流密度模型、動(dòng)態(tài)速度模型和速一密關(guān)系模型，各符號(hào)含義見(jiàn)文獻(xiàn)。上述模型涉及到了加減乘除及冪運(yùn)算，目前Quartus II中有公開(kāi)的浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算IP核可實(shí)現(xiàn)加減乘除運(yùn)算，但式(4)中出現(xiàn)有底數(shù)、指數(shù)可能均為浮點(diǎn)數(shù)的冪運(yùn)算。本文根據(jù)所選參數(shù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，將所有運(yùn)算均限定在加減乘除的浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算范圍內(nèi)。

2 16位自定義浮點(diǎn)數(shù)數(shù)據(jù)格式

Quartus II軟件自帶的IP核的輸入輸出數(shù)據(jù)采用IEEE754單精度32位浮點(diǎn)數(shù)格式，其數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)表示如下：

其中S為1位符號(hào)位，E為8位階碼位，M為尾數(shù)的24位小數(shù)位。調(diào)用QuartusII浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算IP核實(shí)現(xiàn)加減乘除的操作，其資源消耗依次為加減運(yùn)算消耗LE單元個(gè)數(shù)均為1 497，消耗嵌入式乘法器個(gè)數(shù)均為0：乘除運(yùn)算消耗LE單元個(gè)數(shù)分別為809、3345，消耗嵌入式乘法器個(gè)數(shù)分別為0、7。對(duì)一個(gè)路段進(jìn)行仿真時(shí)，至少需要6次加法、7次減法、12次乘法、4次除法，僅實(shí)現(xiàn)加減乘除運(yùn)算所消耗FPGA邏輯資源已蔚為壯觀(guān)，若要仿真多個(gè)路段，將付出巨大的硬件成本，甚至無(wú)法實(shí)現(xiàn)，因此本文在IEEE754浮點(diǎn)數(shù)格式的基礎(chǔ)上采用自定義16位浮點(diǎn)數(shù)格式，編寫(xiě)浮點(diǎn)運(yùn)算模塊，盡量減少FPGA資源的消耗，其數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)為：

其中S為1位符號(hào)位，E為6位階碼位，M為尾數(shù)的9位小數(shù)位，隱藏整數(shù)位1，其表示的數(shù)據(jù)值下式所示：

上式中，當(dāng)S為0時(shí)，A為正數(shù)，當(dāng)S為1時(shí)，A為負(fù)數(shù);E-31為浮點(diǎn)數(shù)的指數(shù)，指數(shù)可在2-31到231之間變化;尾數(shù)采用原碼表示，整數(shù)部分1為缺省值，不在上述格式中表示;0在上述格式中，階碼和尾數(shù)均為0，符號(hào)位可以是任意值。為方便說(shuō)明自定義浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算過(guò)程，設(shè)有兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)是a和b，其數(shù)據(jù)格式如式(6)所示。

2.1 自定義16位浮點(diǎn)數(shù)加法和減法運(yùn)算

浮點(diǎn)數(shù)加、減法的操作過(guò)程相似，流程圖如圖2所示。

1)對(duì)階操作：在兩數(shù)尾數(shù)的小數(shù)部分的高位補(bǔ)1，比較兩數(shù)的階碼是否相同。若相同，直接進(jìn)入第2)步;若不同，比較兩個(gè)數(shù)的階碼大小，令階碼小的尾數(shù)連同高位補(bǔ)的1向右移位，右移的尾數(shù)等于階差的絕對(duì)值;

2)符號(hào)位操作：加法運(yùn)算，若兩數(shù)符號(hào)相同，則符號(hào)位同兩加數(shù);若兩加數(shù)符號(hào)相異，符號(hào)位由絕對(duì)值較大的加數(shù)決定。減法運(yùn)算，被減數(shù)和減數(shù)的符號(hào)相異，則兩數(shù)的絕對(duì)值相加;兩數(shù)符號(hào)相同，則兩數(shù)相減再取絕對(duì)值。結(jié)果的符號(hào)位取被減數(shù)的符號(hào)位(當(dāng)被減數(shù)的絕對(duì)值較大時(shí))或者是減數(shù)的符號(hào)位取反(當(dāng)減數(shù)的絕對(duì)值較大時(shí));

3)歸一化操作：若步驟1)和2)所得結(jié)果為非規(guī)格化數(shù)，找出運(yùn)算結(jié)果的最高位1，由高至低依次將其后部分存入最終結(jié)果，階碼做相應(yīng)的調(diào)整。

2.2 自定義16位浮點(diǎn)數(shù)乘法和除法運(yùn)算

浮點(diǎn)數(shù)的乘法運(yùn)算按照以下步驟進(jìn)行，其算法流程圖如圖3所示。

1)判0操作：乘法運(yùn)算，檢查兩乘數(shù)是否有0，若有，結(jié)果為0。除法運(yùn)算，檢查被除數(shù)是否為0，若為0，結(jié)果為0。

2)符號(hào)位操作：對(duì)兩數(shù)的符號(hào)位進(jìn)行異或操作，確定結(jié)果的符號(hào)位。

3)階碼操作：乘法運(yùn)算，乘積的階碼是(Ea+Eb-31+修正項(xiàng));除法運(yùn)算，商的階碼是(Ea-Eb+31+修正項(xiàng))。修正項(xiàng)的值由4)中非規(guī)格化數(shù)調(diào)整為規(guī)格化數(shù)進(jìn)行的移位個(gè)數(shù)決定。

4)尾數(shù)操作：乘法運(yùn)算，兩乘數(shù)尾數(shù)的小數(shù)部分的高位補(bǔ)1后相乘，得到乘積的20位初始尾數(shù)d;除法運(yùn)算，被除數(shù)和除數(shù)尾數(shù)的小數(shù)部分的高位均補(bǔ)1，對(duì)1.Ma和1.Mb進(jìn)行相除操作，令d=1.Ma÷1.Mb，采用移位相減，先比較1.Ma和1.Mb大小，若1.Ma≥1.Mb，則d為1，且令1.Ma=1.Ma-l.Mb;若1.Ma<1.Mb，則d為0，且令1.Ma左移一位再次進(jìn)行比較得到d，依次重復(fù)上述比較過(guò)程最終得到商的初始尾數(shù)d。

5)歸一化操作：乘法運(yùn)算，d[19]、d[18]不同時(shí)為0，若d[19]為0，即乘積的整數(shù)為01，則乘積尾數(shù)的小數(shù)部分為d[17：9]，修正項(xiàng)為0;若d[19]為1，即乘積的整數(shù)為10或11，則將初始尾數(shù)右移一位，同時(shí)乘積指數(shù)加1，修正項(xiàng)為1，乘積尾數(shù)小數(shù)部分為d[18：10]。除法運(yùn)算，d[9]和d[8]不會(huì)同時(shí)為0，若d[9]不為0，商的商的初始尾數(shù)的整數(shù)為1，尾數(shù)小數(shù)部分為d[8：0];若d[19]為0，商的初始尾數(shù)的整數(shù)為0，則將初始尾數(shù)左移一位，同時(shí)商的階碼減1，修正項(xiàng)為-1，商的尾數(shù)小數(shù)部分為d[7：0]并在低位補(bǔ)0。

將上述操作結(jié)束后得到的符號(hào)位、階碼位、尾數(shù)的小數(shù)部分按照自定義浮點(diǎn)數(shù)格式進(jìn)行排列，得到最終的結(jié)果。

3 自定義浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算的仿真機(jī)綜合分析

為了驗(yàn)證本文中自定義浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算模塊的正確性及其誤差大小，且考慮到仿真模型中的變量都為正的浮點(diǎn)數(shù)，這里以實(shí)數(shù)7.8和5.6為例，分別將其變換為本文中自定義的浮點(diǎn)數(shù)格式，在自行開(kāi)發(fā)的以EP3C80E484C型號(hào)為核心的FPGA上運(yùn)行，并通過(guò)QuartusⅡ軟件中自帶的debug工具軟件查看其運(yùn)算結(jié)果，其中加減乘除運(yùn)算的部分結(jié)果如圖4所示。

為了驗(yàn)證FPGA實(shí)際運(yùn)算結(jié)果的正確性，將上述浮點(diǎn)數(shù)格式的結(jié)果轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制格式，并進(jìn)行系統(tǒng)誤差對(duì)比，如表2所示。

由表2的對(duì)比結(jié)果可知，在FPGA運(yùn)行的16位自定義數(shù)據(jù)格式的加、減、乘、除運(yùn)算模塊的計(jì)算誤差不超過(guò)0.1%，能夠滿(mǎn)足宏觀(guān)交通流模型的仿真中對(duì)計(jì)算精度的要求。此外，在保證模型仿真精度的同時(shí)，自定義16位數(shù)據(jù)格式的加、減、乘、除運(yùn)算模塊與Quartus II軟件公開(kāi)的32位浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算IP核相比，能夠顯著降低對(duì)FPGA資源的消耗，其資源對(duì)比如表3所示。

4 模型仿真及綜合分析

基于自定義浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算模塊，前文以Papageorgiou模型為仿真對(duì)象，在FPGA上設(shè)計(jì)了交通流仿真模塊。以一段長(zhǎng)度為5 km的單向單車(chē)道的高速公路為例，將其等分為10段，采用時(shí)間設(shè)為T(mén)=15 s，模型中其他參數(shù)設(shè)置為：α=0.95，ζ=1，l=1.86，m=4.05，τ=0.005 56 h，ζ=35 km2/h，λ=40 veh/km/lane，Vf=95.1 km/h，kj=110veh/km/ lane。

在初始時(shí)刻，假設(shè)各路段密度、速度相同，分別為60 veh/km/lane、30 km/h，并假定駛?cè)敫咚俟返能?chē)流量為恒值Q0=1 500 veh/h，每個(gè)入口匝道車(chē)流量也為恒值r=750 veh/h。

在FPGA上對(duì)高速公路宏觀(guān)模型進(jìn)行仿真需要注意兩個(gè)問(wèn)題：1)邊界賦值問(wèn)題，這里采用邊緣賦值條件，令v0(n)=v1(n)，k0(n)=Q0/v1(n)，k11(n)=k10(n);2)通過(guò)多項(xiàng)式擬合方法簡(jiǎn)化式(4)中指數(shù)和底數(shù)均為浮點(diǎn)數(shù)的冪運(yùn)算，并由(7)式進(jìn)行替換。

Ve[ki(n)]=0.008[ki(n)]3-0.064[ki(n)]2+0.371 4[ki(n)]+92.310 3 (7)

FPGA實(shí)現(xiàn)的模型仿真結(jié)果如圖5所示。

其中flag表示結(jié)果輸出標(biāo)志，count是仿真時(shí)間間隔的個(gè)數(shù)，k5out-k6out和v5out-v6out別是第5、6路段的交通流密度和車(chē)輛平均速度。為查驗(yàn)FPGA的仿真精度，選取count= 1，100時(shí)兩組數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)形式，與MATLABA仿真結(jié)果對(duì)比，如表4所示。

從表4知，基于FPGA的模型仿真與MATLAB的仿真結(jié)果對(duì)比，在仿真初期誤差幾乎為0，隨著仿真時(shí)間持續(xù)增長(zhǎng)，誤差隨之增大，但總體差距不大，能夠滿(mǎn)足仿真精度的要求。

5 結(jié)束語(yǔ)

1)本文設(shè)計(jì)了基于自定義浮點(diǎn)數(shù)的高速公路交通流宏觀(guān)動(dòng)態(tài)模型仿真，并在自行開(kāi)發(fā)的FPGA電路板上進(jìn)行了驗(yàn)證，其中自定義浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，節(jié)省了FPGA邏輯資源，能夠在保證計(jì)算精度的前提下以較快的速度實(shí)現(xiàn)模型的仿真，在后續(xù)的交通控制研究中可以進(jìn)一步在FPGA上實(shí)現(xiàn)控制算法的效果驗(yàn)證;

2)本文的不足之處在于沒(méi)有直接實(shí)現(xiàn)底數(shù)和指數(shù)全為浮點(diǎn)數(shù)的冪運(yùn)算，而是根據(jù)所設(shè)定的參數(shù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，導(dǎo)致模型仿真精度在一定程度上受到擬合精度的限制。