0 引言

大部分實際控制工程都是復雜的高階系統(tǒng)，通?？蓪⑵浞纸鉃槿舾蓚€一階慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)的疊加。在研究復雜控制系統(tǒng)的過程中，往往通過主導極點和偶極子相消的方法，將高階系統(tǒng)簡化為二階等低階系統(tǒng)的組合，再根據(jù)對二階控制系統(tǒng)輸出和性能的分析，對控制系統(tǒng)偏差進行校正，從而獲得滿足設計指標和使用要求的高階系統(tǒng)性能。因此，掌握二階控制系統(tǒng)動態(tài)特性理論，構建二階控制系統(tǒng)動態(tài)特性的測試系統(tǒng)，可大大簡化系統(tǒng)分析，對控制系統(tǒng)的分析和設計具有重要作用。

Simulink 是一種以Matlab 為基礎的實現(xiàn)交互式動態(tài)系統(tǒng)建模、仿真與分析的軟件包，可以針對控制系統(tǒng)等進行系統(tǒng)建模、仿真、分析等工作，被廣泛應用于線性控制系統(tǒng)、非線性控制系統(tǒng)、數(shù)字控制及數(shù)字信號處理的建模和仿真中。本文介紹基于Matlab/Simulink 仿真環(huán)境下，通過單位階躍信號作用，利用仿真實例對二階控制系統(tǒng)進行仿真研究，直接觀察和分析二階控制系統(tǒng)輸出性能的變化，充分體現(xiàn)了Matlab/Simulink仿真直觀和方便的特點。

1 二階控制系統(tǒng)模型

能夠用二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階控制系統(tǒng)。在控制工程實踐中，二階控制系統(tǒng)十分常見，例如，電樞控制的直流電動機，RLC網(wǎng)絡和彈簧-質(zhì)量-阻尼器組成的機械位移系統(tǒng)等。此外，許多高階系統(tǒng)在一定條件下，常常近似地作為二階控制系統(tǒng)來研究。因此，詳細討論和分析二階控制系統(tǒng)的特性，具有極為重要的實際意義。典型二階控制系統(tǒng)數(shù)學模型結構如圖1所示。

其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

式中：ζ為系統(tǒng)阻尼比;ωn為無阻尼自然振蕩角頻率，單位為rad/s.二階控制系統(tǒng)的動態(tài)特性可由以上兩個參數(shù)描述。二階控制系統(tǒng)在單位階躍信號作用下，其輸出響應可分為以下幾種情況：

(1)當ζ=0時，二階控制系統(tǒng)為零阻尼狀態(tài)。系統(tǒng)有一對共軛虛根，系統(tǒng)單位階躍響應為無阻尼等幅振蕩曲線。

(2)當0<ζ<1 時，二階控制系統(tǒng)為欠阻尼狀態(tài)。系統(tǒng)的極點為共軛復數(shù)，位于S 左半平面。系統(tǒng)單位階躍響應由穩(wěn)態(tài)響應和瞬態(tài)響應兩部分組成，穩(wěn)態(tài)響應為1,瞬態(tài)響應為振蕩衰減過程，振蕩角頻率由阻尼比ζ和無阻尼自然振蕩角頻率ωn決定，并且隨著ζ的減小，其振蕩幅度加大。

(3)當ζ=1時，二階控制系統(tǒng)為臨界阻尼狀態(tài)。系統(tǒng)具有兩個相同的實數(shù)極點，位于S 左半平面。系統(tǒng)單位階躍響應為無超調(diào)，無振蕩單調(diào)上升的曲線，不存在穩(wěn)態(tài)誤差。

(4)當ζ>1時，二階控制系統(tǒng)為過阻尼狀態(tài)。系統(tǒng)具有兩個不等的實數(shù)極點，位于S左半平面，系統(tǒng)單位階躍響應與臨界阻尼情況相似，為無超調(diào)，無振蕩單調(diào)上升的曲線，但它的過渡過程時間較之臨界阻尼更長。

2 二階控制系統(tǒng)仿真設計與研究

2.1 二階控制系統(tǒng)仿真結構設計

啟動Matlab 7.04,進入Simulink 仿真界面，根據(jù)二階控制系統(tǒng)數(shù)學模型結構，設計二階控制系統(tǒng)的Simu-link仿真結構如圖2所示。雙擊各函數(shù)模塊，在出現(xiàn)的各參數(shù)對話框內(nèi)設置相應的參數(shù)，仿真時輸入單位階躍信號，起始時間為0,分別改變ωn 和ζ的值，點擊simula-tion菜單下的start命令進行仿真，雙擊示波器模塊觀察仿真結果，得到系統(tǒng)的階躍響應曲線，再進行分析ωn和ζ對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。

2.2 二階控制系統(tǒng)單位階躍響應與參數(shù)ζ的關系

設定ωn=10 rad/s 不變，改變參數(shù)ζ分別為0,0.25,1和2的二階控制系統(tǒng)Simulink仿真結構如圖3所示，輸入單位階躍信號，其仿真響應曲線如圖4所示。從圖中實驗數(shù)據(jù)分析可以看出，響應曲線由上至下，依次為無阻尼等幅振蕩曲線，欠阻尼振蕩衰減曲線，臨界阻尼和過阻尼無超調(diào)單調(diào)上升曲線。當0<ζ<1 時，二階控制系統(tǒng)欠阻尼狀態(tài)ζ變化的階躍響應曲線如圖5所示。隨著ζ 的增大，系統(tǒng)單位階躍響應的超調(diào)量減少，但上升時間加長，曲線峰值較大，因此，綜合考慮超調(diào)量和上升時間兩個因素，應選擇ζ 接近最佳阻尼比0.707.

2.3 二階控制系統(tǒng)單位階躍響應與參數(shù)ωn的關系

設定ζ=0.1 不變，改變參數(shù)ωn 分別為10 rad/s 和20 rad/s的二階控制系統(tǒng)Simulink仿真結構如圖6所示，輸入單位階躍信號，其仿真響應曲線如圖7所示。從圖中實驗數(shù)據(jù)分析可以看出，當ζ=0.1 時，隨著ωn 的增大，系統(tǒng)單位響應的振蕩周期變短，其調(diào)整時間也相應地縮短;當ζ≥1 時，系統(tǒng)變成臨界阻尼或欠阻尼系統(tǒng)，這時也有類似的結論，圖8所示為當ζ=1時，ωn分別為10 rad/s和20 rad/s的二階控制系統(tǒng)的階躍響應曲線。

3 結語

基于Matlab/Simulink 環(huán)境的仿真分析方法，通過Simulink工具箱所提供的基本模塊，不需任何硬件，在單位階躍信號作用，利用仿真實例很好地實現(xiàn)了對二階控制系統(tǒng)進行仿真研究，直接觀察和分析二階控制系統(tǒng)輸出性能的變化，驗證了二階控制系統(tǒng)相關理論的正確性，在二階控制系統(tǒng)實驗教學和科研上有很大實用價值，充分體現(xiàn)了Matlab/Simulink仿真直觀和方便的特點。