守恒定律(像能量守恒、動量守恒)是人類理解自然的精華。它反映了自然的美和理性。但守恒定律是從什么地方來的?它的起源是什么?這是物理學中非?；镜膯栴}。這一問題有一個非常漂亮的答案：所有守恒定律，都來自于物理理論中的對稱性。這就是有名的諾特定理。很多學物理的人都學過這個定理。但是有很多人不知道諾特是一個女數(shù)學家。

諾特是一個偉大的數(shù)學家，她是現(xiàn)代抽象代數(shù)的奠基人之一。作為一個早期的女數(shù)學家，她獲得博士學位以后，在幾個大學教了十幾年的書，但不能拿工資。后來拿到一個教授，還要注明是非終身的和權(quán)益受限的教授。今年4月14日是諾特逝世81周年的日子。我們在此紀念這位應(yīng)當很有名的數(shù)學家。

——文小剛

諾特肖像

我們之所以能夠理解世界，是因為世界上許多事情是可以預測的。比如，我們投出一個球，就會知道它只能落下來，而不能飛上天。如果我們多次從同樣的高度讓球自由下落，也能預知接下來的事情——球每次都會以同樣的速度撞擊地面，然后反彈到同一高度。這種可預知的重復性正是物理學具有現(xiàn)實意義的重要原因。

投球?qū)嶒灲Y(jié)果的重復性可以用能量守恒定律來解釋。不過，這種重復性還可以有另外一個解釋——球每一次下落時，地球重力都是相同的，因此球的運動狀態(tài)是重復不變的。假如每一次球下落時，重力都有不同的變化，我們就無法預測球下落后的情況了。這反映了一個深刻的物理學規(guī)律——物理學的守恒定律總是與對稱性一一對應(yīng)。這個定律一般人不好理解，簡單說來就是，空間平移，動量守恒;轉(zhuǎn)動不變，角動量守恒;時間平移，能量守恒。這一重要規(guī)律被稱為諾特定理，物理學家將其視為“數(shù)學中的勾股定理”，而其發(fā)現(xiàn)者卻是一位名叫埃米·諾特(Emmy Noether，1882.3.23-1935.4.14)的女性數(shù)學家。

隱姓埋名的大科學家很多，但很少有人比得上埃米·諾特這般默默無聞及與世無爭。作為20世紀最偉大的數(shù)學家，諾特本人卻幾乎完全不為人所知。不僅普通大眾如此，許多理科學生亦是如此。美國費城著名的德雷克塞爾大學(非常重視女性教育的私立大學)就曾對物理學院的一些學生和老師做了名為“諾特問卷”的調(diào)查，結(jié)果很少有人能夠準確說出她是誰，以及她為什么重要。

對于普通大眾，我們很難非常深入地解釋埃米·諾特所做的重要貢獻，因為如果想真正了解她所具有的革命性，你很有可能需要獲得數(shù)學博士學位才行。但是，我們可以看一下科學界對她所作的評價，就可了解她了。

按照愛因斯坦的話來說：“埃米·諾特是數(shù)學界的雅典娜，如果沒有她，現(xiàn)代數(shù)學和它的教學將會是完全不同的。”在愛因斯坦眼中，“埃米·諾特是數(shù)學史上最重要的女性”，而她同時代的數(shù)學家則傾向于認為此評價中的“女性”二字應(yīng)該去掉。埃米·諾特一生致力于代數(shù)研究，她的工作在代數(shù)拓撲學、代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何的發(fā)展中有重要的影響，數(shù)學界稱她為“代數(shù)女皇”。她完全重寫了許多關(guān)于數(shù)學的概念，以至于在數(shù)學不同的領(lǐng)域里都能找到以“諾特”命名的理論。

埃米·諾特不僅僅是現(xiàn)代數(shù)學的奠基者，也是物理學中的革命家。她給出的諾特定理把兩個物理學的支柱概念——“對稱性”和“普遍守恒定律”聯(lián)系在一起。許多物理學家認為諾特定理可以跟愛因斯坦的相對論并駕齊驅(qū)。直到今天，諾特定理仍然指導著當今物理學的許多先鋒研究，比如對希格斯玻色子的尋找，比如黑洞的研究。而在天文物理中，月球的一個隕石以及太陽系小行星帶中的一顆小行星也以埃米·諾特的名字命名。

作為一個在數(shù)學和物理學中取得如此非凡成就的女性，埃米·諾特的數(shù)學道路起初卻并非一帆風順。

1882年，在德國的埃朗根市，埃米·諾特出生于一個富足的猶太人家庭，她的母親是猶太商人的女兒，父親是埃朗根大學的數(shù)學教授。小時候，埃米·諾特并沒有顯示出特別的數(shù)學天賦，她是從鋼琴、舞蹈、英語和法語開始學習的——世俗認為這些科目更適合女孩。18歲高中畢業(yè)時，由于具備女性出色的語言才能，她毫不費力地考取了語言教師的資格證書，馬上就可以在學校教書了。她的家庭非常高興，因為在當時，對一個像她這樣的女孩來說，這已經(jīng)是比較理想的人生之路了。然而，由于長期受到父親的影響，埃米·諾特對數(shù)學有著濃厚的興趣，她希望遵從自己的意志，到大學去念數(shù)學。幸運的是，她得到了父母的支持。

1916年明信片上的德國埃朗根市

對諾特來說，念大學的這條道路并不好走。當時的德國不允許女性進入大學學習，德國的大學只允許女性在征得教師同意的情況下參加旁聽，當然還得繳納聽課費，而如果想要參加考試并取得文憑，則要經(jīng)過學校領(lǐng)導的特別批準。

但諾特克服種種困難，花了兩年的代價，終于獲準在埃朗根大學旁聽，第二年，她被校方批準參加入學注冊考試，很快就以優(yōu)異的成績通過了考試，成為正式的大學生。按當時的慣例，大學新生需要在另一所大學學習一年。父親推薦她前往對女性入學更為開明的哥廷根大學就讀。這時她有幸直接聽到了大衛(wèi)·希爾伯特、菲利克斯·克萊因等著名數(shù)學家的課程。

1904年，埃米·諾特又回到了埃朗根大學，成為數(shù)學系47名學生中唯一的女生。周圍的老師和同學，有些對她比較佩服和尊重，而出于性別的原因，也有些人對她持有偏見，這使她無時無刻不感受到巨大的精神壓力。于是，她把多數(shù)時間都用于讀書和思考，當其他同學外出聚會或者游玩的時候她仍然伏案苦讀，她所做的筆記和用掉的草稿紙要比別人多上好幾倍。就這樣，一本本抽象枯燥的數(shù)學書籍被她逐一消化吸收，這為她將來的數(shù)學生涯下了堅實的基礎(chǔ)。

這一時期，數(shù)學研究的中心課題之一是“不變量”。擅長代數(shù)不變量理論的數(shù)學家保羅·哥爾丹正在埃朗根大學執(zhí)教，他發(fā)現(xiàn)埃米·諾特不僅聰穎而且好學，于是引導她走上了研究探索的道路。

在哥爾丹的悉心點撥下，在短短的兩年時間里諾特就取得了重大的研究成果。她對一類重要的不變量的體系結(jié)構(gòu)給予了詳盡的刻畫，以此為題完成了博士畢業(yè)論文《三元雙二次型不變量的完全系》，并于當年年底通過了論文答辯。1908年，埃爾朗根大學向埃米·諾特授予了哲學博士學位，她成為哥爾丹數(shù)學生涯中指導過的唯一一位博士。

埃米·諾特并沒有停止探索的腳步，在此后的數(shù)年時間里，她繼續(xù)研究不變量理論，并開始研究有理函數(shù)體。到了1915年，她已經(jīng)發(fā)表了《有理函數(shù)體和系》、《有限不變量的有限性定理》、《任意多基本形式系統(tǒng)的不變量的整有理表示》等多篇重要論文，證明了不變量理論中的許多基本定理，還解決了大衛(wèi)·希爾伯特曾經(jīng)提出的數(shù)學難題。

這引起了希爾伯特和克萊因的注意，他們認為，埃米·諾特的研究成果對于從數(shù)學角度研究愛因斯坦的廣義相對論大有幫助。在他倆的協(xié)助下，埃米·諾特于1916年重返哥廷根大學。不過，這次她不再是以學生的身份來求學，而是準備以教師的身份來工作。在這樣一個名家匯集、人才濟濟的地方，埃米·諾特的學術(shù)生涯即將迎來重大的轉(zhuǎn)折。

1915年，愛因斯坦發(fā)表了他的廣義相對論，而哥廷根大學的數(shù)學系對廣義相對論的感覺卻是“茫然不知所云”。埃米·諾特開始應(yīng)用她的不變量研究來剖析錯綜復雜的廣義相對論，這一工作激勵著埃米·諾特，使她構(gòu)想出了屬于自己的理論，這也就是本文開端所提到的諾特定理。

這條革命性的理論表述如下：不論在自然界的什么地方發(fā)現(xiàn)了某種對稱性、某種可預見性，你將發(fā)現(xiàn)對稱平移必然會產(chǎn)生與其一致的守恒量——動量、電荷、能量等等。舉一個最簡單的例子，在日常生活中，諾特定理可以告訴我們：騎自行車不會摔倒。如果一個自行車輪呈現(xiàn)放射狀對稱，也就是說如果它可以順著車軸旋轉(zhuǎn)并且各個方向看起來都一樣，那么，車軸平移肯定會有對應(yīng)的守恒量。通過對諾特定律所包含原理和計算的應(yīng)用，你會明白，這個守恒量是角動量。

可以說，諾特定理是“編織”了整個現(xiàn)代物理的“絲線”。由于現(xiàn)代物理學家們的研究工作非常依賴對稱性和守恒定律，不論研究原子尺度的量子物理，還是研究宇宙范圍的物質(zhì)流動，所有現(xiàn)代物理學家都要用到諾特定理，因為諾特定理回答了這樣一些問題：如果你在不同的時間或者不同的地方做同一個實驗，哪些物理量會改變，而哪些物理量會保持不變;你是否可以旋轉(zhuǎn)你的實驗裝置;實驗中粒子的哪些屬性可以改變，而哪些屬性又是不可觸碰的?

而且，伴隨著諾特定理而涌現(xiàn)的一些聯(lián)系是令人震驚的，比如時間和能量之間的聯(lián)系。諾特定理表明，時間的對稱性與能量守恒定律直接連系在一起，就像本文開頭所舉的例子，不管你是明天向空中拋擲球還是后天向空中拋擲球，這對球的運行軌跡是沒有影響的，它的軌跡是重復的。又比如，數(shù)學中的環(huán)與物理學中的電荷守恒定律之間的聯(lián)系。根據(jù)電荷守恒定律，“進入”一項實驗的電荷總量必須等于從實驗結(jié)果“出來”的電荷總量，即使粒子的類型變了或者物質(zhì)粒子與反物質(zhì)粒子發(fā)生了湮滅。諾特定理能夠通過環(huán)的對稱性推導出電荷守恒定律，而且還可以根據(jù)環(huán)論推導出電磁學的理論，比如電流的產(chǎn)生以及原子結(jié)構(gòu)的變化。

近代物理學家們對諾特定理評價很高，認為它是一種關(guān)于宇宙歸宿的表述，它揭示了宇宙基本幾何與質(zhì)量和能量活動之間的深層聯(lián)系。

諾特定理的一系列深刻研究結(jié)果為近代物理的發(fā)展起到了奠基的作用，不過，埃米·諾特并沒有繼續(xù)深入研究物理學，她轉(zhuǎn)而研究抽象代數(shù)，回到了數(shù)學的道路上。當埃米·諾特開始研究抽象代數(shù)的時候，其實它還只是一門新興的代數(shù)學科，而諾特的工作推動了它的迅速發(fā)展，稱為現(xiàn)代抽象代數(shù)的奠基人。不僅如此，她還建立了自己的數(shù)學研究團隊，其成員來自世界各地，經(jīng)她指導，她的團隊取得了許多重要成就，使哥廷根大學成為了當時世界數(shù)學的中心。

有時，諾特在郵政明信片上與她的同事Ernst Fischer討論抽象代數(shù)，這封載有她數(shù)學討論的明信片上的郵戳時間為1915年4月10日。

如果認為埃米·諾特輝煌的科學成就必然為她帶來生活上的一帆風順，那將是十分錯誤的。實際上，除了童年時代，埃米·諾特在她的祖國就一直生活在逆境之中。在1916年，埃米·諾特受邀回到哥廷根大學的時候，就因為身為女性而無法獲得授課資格。在當時的德國大學里，教師的授課資格必須由學校的全體教授們投票決定，一些頭腦頑固的文科教授根本不去考慮埃米·諾特的學術(shù)成就和教學能力，而是以性別作為評判其授課資格的前提。盡管數(shù)學教授們竭力保薦，但他們的努力均以失敗告終。直到1919年，埃米·諾特才正式獲得了“非官方講師”的頭銜，但這并沒有改變她的經(jīng)濟狀況。

當已到而立之年的諾特在數(shù)學界站穩(wěn)腳跟的時候，她的生活還十分拮據(jù)。但是，諾特為數(shù)學而活，她對自己的財產(chǎn)毫不在意。關(guān)于諾特，她既沒有留下什么記錄來記載自己作為一個女性來面對困難時的感受，也沒有記錄自己私人的情感生活。她沒有結(jié)過婚，即使有過愛情，也未對別人講過。但她并不是一個性情孤僻的人，相反她平易近人，喜歡說笑，所以在照片里總是面帶笑容。她從不裝腔作勢、居高臨下，如果興奮地講話時，那一頭不羈的長發(fā)散開的話，她就讓其散著。學生們都非常愛戴她，以至于在哥廷根大學，當?shù)厝藢⑺艺\的學生稱為“諾特童子軍”。

1930年的諾特

正當埃米·諾特的數(shù)學生涯進入全盛時期的時候，德國傳來了希特勒上臺的消息。作為猶太人，迫于無奈，埃米·諾特在1933年移居美國。她來到了賓夕法尼亞州的布林莫爾女子學院任教，那里距普林斯頓高等研究院很近。從1934年起，埃米·諾特每周去研究院講一次課。這一時期，她最熱衷于領(lǐng)著學生散步。埃米·諾特在布林莫爾的時光是十分愉快的，在這里她終于體會到了僅在童年時代才有擁有過的人際之間的親善情感。埃米·諾特說，在這里她感到被深切地尊敬，這是她在德國從來沒有得到過的。

但不幸的是，快樂的時光并沒持續(xù)太久，在埃米·諾特來到美國僅18個月之后，她進行了卵巢囊腫手術(shù)，幾日后突然去世，享年53歲。