實(shí)際應(yīng)用經(jīng)常只會(huì)用到數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換器模擬信號(hào)范圍的一部分。如果在應(yīng)用中只用到該范圍的一半或者四分之一，則可以很容易地計(jì)算出有效分辨率。但如果遇到的是一個(gè)更復(fù)雜的分?jǐn)?shù)，又該怎么辦呢?本文將介紹在使用任何模擬信號(hào)范圍時(shí)有效分辨率的計(jì)算。

電壓裕量

模擬系統(tǒng)通常會(huì)留出一定的裕量，以針對(duì)增益誤差、漂移、設(shè)計(jì)容限或設(shè)備調(diào)校不佳進(jìn)行調(diào)整。在模擬世界和數(shù)字世界之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換時(shí)，我們同樣需要在數(shù)字世界保留一定的裕量。以0至10V的工業(yè)控制電壓為例，如果我們只允許ADC量化最大10V的電壓，那么，所有的下行設(shè)備必須限制在10V，否則將會(huì)丟失信息。因此，工業(yè)控制中通常留有5%甚至20%的裕量。

其他系統(tǒng)(例如視頻系統(tǒng))往往在視頻信號(hào)中添加了同步信號(hào)。1VP-P視頻信號(hào)中很可能包括700mV的有用視頻信號(hào)和300mV的同步脈沖。如果利用12位ADC對(duì)這樣的信號(hào)進(jìn)行數(shù)字轉(zhuǎn)換，視頻本身將僅使用可用范圍的70%，或者4096個(gè)可用代碼中只使用2867個(gè)代碼?，F(xiàn)在，如果保留5%的裕量，則使用范圍將會(huì)更低。

因此，在模擬和數(shù)字世界之間轉(zhuǎn)換時(shí)，我們必須保證數(shù)字世界能夠應(yīng)對(duì)系統(tǒng)裕量。這一點(diǎn)很重要，但應(yīng)對(duì)裕量卻造成了有效分辨率的降低。

任意模擬范圍的有效分辨率計(jì)算

我們首先從小孩的數(shù)學(xué)練習(xí)開始——真有這么簡(jiǎn)單嗎?

我兒子最近問了我一道數(shù)學(xué)題，大致內(nèi)容如下。我有一張巨大的紙，將其剪成兩半;我將這兩半摞在一起，那么總厚度將為原來的2倍?，F(xiàn)在，我又將這疊紙剪成兩半，并再次將它們摞在一起。此時(shí)的總厚度為最初單張紙的4倍。依此類推，重復(fù)以上過程多少次后，紙摞起來的高度可以到達(dá)月亮?

他需要推導(dǎo)的公式與計(jì)算有效分辨率的公式非常相似，公式中使用了對(duì)數(shù)。

以電壓為0至10V、20%裕量的工業(yè)控制為例，實(shí)際范圍為0至12V。如果采用16位DAC，那么0至10V信號(hào)的有效分辨率是多少(圖1)?

圖1：理想的16位DAC特性，為系統(tǒng)設(shè)計(jì)留有容限和裕量。

我們知道，對(duì)于R位分辨率的DAC，其階梯數(shù)量為2R。因此，定義N為階梯數(shù)量：

我們需要求出R，所以需要用到對(duì)數(shù)計(jì)算。在等式兩側(cè)取對(duì)數(shù)：

式子簡(jiǎn)化為：

回到工業(yè)控制的例子，對(duì)于0至10V的范圍，實(shí)際上僅使用了可用階梯數(shù)量的10/12=0.833倍。在一個(gè)16位的系統(tǒng)中，編碼值為54613。將該數(shù)字代入公式，即可計(jì)算出有效分辨率：

因此，如果留出20%裕量，有效分辨率僅降低了大約0.3位。

實(shí)際上，就位數(shù)而言，減少的位數(shù)與原始分辨率無關(guān)。我們可以通過所用代碼與可用代碼之比得出減少的位數(shù)。

因此，在以上700mV視頻和300mV同步信號(hào)的視頻例子中，使用了0.7倍的可用代碼：

結(jié)果損失了0.51位。所以，在12位系統(tǒng)中的有效分辨率為11.49位，在16位系統(tǒng)中為15.49位。

對(duì)于那些想知道剪多少次紙后才能從地球到達(dá)月球的人，可以進(jìn)行以下計(jì)算：紙堆的高度T=p×2C，式中：p為單張紙的厚度，C為剪紙的次數(shù)。注意到相似性了嗎?按照相同的方式，我們可求解出C，于是C=Log(T/p)/Log(2)。

如何完成我兒子的家庭作業(yè)呢?我測(cè)得一張打印紙的厚度為0.11mm。月球與地球的距離大約為300，000km。因此，我們需要剪紙的次數(shù)為L(zhǎng)og(3×1011/0.11)/Log(2)=42次。好，我們現(xiàn)在動(dòng)手……所需的時(shí)間并不長(zhǎng)嘛。所需剪紙的次數(shù)少得讓人難以置信。

本文小結(jié)

在任何進(jìn)行模擬和數(shù)字世界相互轉(zhuǎn)換的系統(tǒng)中，我們都要考慮裕量。這通常會(huì)降低系統(tǒng)的有效分辨率。本文推導(dǎo)的公式能夠在已知模擬信號(hào)占數(shù)字范圍比例的條件下，計(jì)算出有效分辨率。實(shí)際上，正如示例所示，即使留出較大的裕量開銷，所減少的ENOB也不到1位。