前述文章，BUCK電路模擬補償器的數(shù)字化過程，我們討論了由設(shè)計好零極點的模擬補償器，如何得到對應(yīng)z傳遞函數(shù)的系數(shù)，但是這些系數(shù)都是實數(shù)，它在定點計算的MCU內(nèi)是無法直接實施去計算線性差分方程的，所以我們必須進行一定的數(shù)值變換，以方便定點MCU處理。另外，為了利用16位MCU的最大字長，我們需要對系數(shù)進行一定的縮放以滿足其最大表示范圍。本文就詳細探討一下這些為了得到MCU處理的定點數(shù)據(jù)而進行的數(shù)值變換過程。

一.定點MCU對實數(shù)的處理

以8位的整數(shù)為例，我們先回顧一下整數(shù)所表示的數(shù)字范圍。圖1中，列出了8位有符號數(shù)表示的范圍，最高位為符號位S，可知8位整數(shù)表示的范圍-128-127，這種格式可以稱之為I0Q8，每一位表示的精度為1.

圖1 I0Q8的數(shù)據(jù)表示范圍

如果我們改為I5Q3這種形式，看看相應(yīng)的范圍和精度是多少呢？相應(yīng)的，由于I5Q3格式由5為整數(shù)，3位小數(shù)，所以在bit2和bit3之間放一個隱藏的小數(shù)點，如下計算出來對應(yīng)的正數(shù)最大值為15.875，最小負數(shù)為-16，每一位表示的精度為0.125.

圖2 I5Q3的數(shù)據(jù)表示范圍

從上述分析，可以看出，當表示位數(shù)一定的情況下，整數(shù)位越多，則精度越低，但是表示的數(shù)據(jù)范圍大。小數(shù)位越多，則精度變高，但是表示的數(shù)據(jù)范圍比較變小。

由于我們的MCU sPIC33C是16位的處理器，數(shù)據(jù)位數(shù)為16位，所以，為了可以在計算中實現(xiàn)最大精度，通常采用Q15格式來表示實數(shù)，Q15即I1Q15,具有1位整數(shù)，15位小數(shù)。我們接下來看一下Q15格式小數(shù)表示的范圍是多少？

圖3 Q15的數(shù)據(jù)表示范圍

從圖3可知，Q15最大的正數(shù)是0.99996948，而最小負數(shù)就是-1，每一位的精度為0.00003051758，所以，只要讓補償器中的系數(shù)轉(zhuǎn)化為-1到0.99996948之間的小數(shù)用Q15格式表示，MCU就可以去處理這些小數(shù)的計算。

二.數(shù)字化過程的增益系數(shù)

模擬補償器進行數(shù)字化后，和原有模擬補償回路的差異是，除了補償器本身的增益之外，引入了一些額外的數(shù)字化的增益，如圖4所示。

圖4 數(shù)字化引入的增益計算

舉例來說，電源開關(guān)頻率為500k，輸出采樣分壓電阻為1k和1k，同前述文章中的設(shè)定，在高分辨率模式PWM下周期為8000，ADC供電為3.3V,且保持12bit精度。

首先，由分壓電阻造成的增益為1k/2k，即0.5，這個很容易理解。其次，ADC造成的增益為4095/3.3，因為通過ADC將模擬量轉(zhuǎn)化為一個數(shù)字，轉(zhuǎn)化系數(shù)就是4095/3.3.再次，從補償器計算值，到占空比，也引入了一個系數(shù)1/8000.

總的增益系數(shù)K1如下式所示，

所以在進行數(shù)字補償器設(shè)計時，為了不改變環(huán)路增益，我們需要將這部分增益抵消掉,即乘以K，而K=1/K1，此處示例中，計算出的K系數(shù)為12.89.

三.Z傳遞函數(shù)的實數(shù)系數(shù)變換

由第二部分的討論得知，在數(shù)字補償器計算結(jié)果輸出給PWM之前，為了抵消數(shù)字化過程的額外增益，我們用一個系數(shù)K去乘以計算結(jié)果，再給賦給PWM模塊的占空比寄存器，這樣導致的結(jié)果是每一次環(huán)路計算都要做一次固定的乘以K的動作，這顯然是比較費時間，且無意義的，如圖5所示。

圖5 數(shù)字化環(huán)路的額外增益抵消計算

圖6 數(shù)字補償器表達輸出量

我們對數(shù)字補償器進行變換，如圖6所示，用z變換傳遞函數(shù)表示輸出量，則發(fā)現(xiàn)如果對輸出量進行乘以一個系數(shù)K,那么只是分子中的B系數(shù)和K相乘就可以了，A系數(shù)是沒有影響的。那么我們可以等效為對B系數(shù)進行乘以K的變換，得到新的B系數(shù)，而將K設(shè)為1即可，以此簡化運算。

接下來，我們需要通過移位將A,B系數(shù)變?yōu)?/span>-1-0.99996942之間的數(shù)據(jù)，并且為了最大程度利用16位MCU的字長，需要將這些數(shù)據(jù)其中的最大值變?yōu)?/span>0.99996942，當做完這些移位和縮放操作后，A,B系數(shù)可以表示為Q15數(shù)據(jù)格式，但是需要注意的是在反饋計算量結(jié)果yn之前，需要進行反縮放，以保持數(shù)據(jù)范圍不變，如圖7所示。

圖7 AB系數(shù)的移位縮放和反移位反縮放

接下來，我們通過實例進行說明。

根據(jù)前述分析，首先我們將得到的B系數(shù)乘以一個K值，這個K值在前面的示例中為12.89，得到如下的修正后的B系數(shù)，A系數(shù)保持不變，K最后設(shè)為1.

圖8 B系數(shù)統(tǒng)一乘以K增益系數(shù)

然后同時對A,B系數(shù)做縮放，此處通過右移5位，讓它處在Q15小數(shù)表達的范圍內(nèi)，即-1-0.9999694824219之間，如圖9所示。

圖9 A,B系數(shù)的統(tǒng)一縮放至Q15小數(shù)范圍

圖10 A,B系數(shù)放大G2倍充分利用16位字長

圖11 計算G2縮放倍數(shù)

通過圖11所述關(guān)系，將縮放后的AB系數(shù)中最大值乘以一個數(shù)字，變?yōu)?.9999694824219求得G2系數(shù)，即將A,B系數(shù)同時乘以G2,讓最大的數(shù)達到Q15的最大值，0x7FFF,如圖10所示，以便充分利用16位的最大字長。

圖12 Q15格式的數(shù)據(jù)

由最終得到的小數(shù)，乘以32768，進而得到相應(yīng)的16進制數(shù)據(jù)，如圖12所示，最后一列就是我們需要放到SMPS控制庫函數(shù)中進行計算的Q15數(shù)據(jù)。

四.采用DCDT工具進行實際驗證AB系數(shù)

圖13 DCDT插件工具

DCDT工具是一個在MPLAB XIDE中運行的插件，它可以幫助用戶計算數(shù)字補償器的相關(guān)實數(shù)系數(shù)及Q15數(shù)據(jù)。DCDT的具體安裝我們后面有機會再做具體說明。

這里我們以上述實例，基于已有的電壓模式控制buck電路功率級傳遞函數(shù)，做相應(yīng)的變換，在DCDT工具中得到對應(yīng)的Q15數(shù)據(jù)，及相關(guān)的系數(shù)。

具體示例對應(yīng)圖4中的描述，我們把圖4直接搬到此處，如圖14所示，方便分析。

圖14 基于DCDT分析的功率級被控對象

根據(jù)圖14所示的基本條件，及第二部分討論的K系數(shù)計算方式，可計算出相應(yīng)的K系數(shù)為12.89.

圖15 DCDT中選擇單環(huán)設(shè)計電壓模式補償器

由于是電壓模式buck電路，因此在DCDT的頁面上，選擇單環(huán)補償器，如圖15所示。

圖16 DCDT中寫入功率級零極點

基于功率級特性的研究，我們填入相應(yīng)的零極點，如圖16所示，并調(diào)整Gain系數(shù)Kdc滿足真實的低頻增益，在圖17，圖18中得到相應(yīng)的功率級增益和相位曲線，當然也可以用仿真的方式將數(shù)據(jù)導入這里，或者用實測波特圖的方式將數(shù)據(jù)導入到這里，這里不做太多說明。

圖17 功率級增益曲線

圖18 功率級相位曲線

圖19 設(shè)置輸出分壓電阻及ADC相關(guān)參數(shù)

根據(jù)電路硬件填入分壓電阻，dsPIC33CK的ADC為12bit分辨率，且轉(zhuǎn)換時間在300ns以內(nèi)，供電為AVDD電壓3.3V,輸出電壓我們這里案例為3.3V，如圖19所示。

圖20 設(shè)置補償器零極點

根據(jù)功率級的零極點，我們設(shè)置相應(yīng)的補償器的零極點位置，補償器的直流增益，根據(jù)參考文檔，我們設(shè)為默認值1。如何設(shè)置補償器零極點頻率這里我們不做詳細探討，請參考前述文章，BUCK電路電壓模式CCM環(huán)路補償設(shè)計及仿真 .

圖21 設(shè)置PWM相關(guān)配置

此處由于我們使用dsPIC33CK器件，因此我們按照250ps的最大PWM分辨率，且每一個周期都進行ADC采樣，則采樣系數(shù)為1，開關(guān)頻率為500k，對應(yīng)采樣間隔頻率就是500k，其它值為估計值。此處注意，實際應(yīng)用中，需要用戶確保合適的采樣頻率以滿足環(huán)路運算和執(zhí)行其它任務(wù)。

圖22 得到實數(shù)的原始數(shù)字補償器系數(shù)

得到的原始的數(shù)字補償器系數(shù)，和前述文章通過我們另一個工具DCLD得到的系數(shù)是完全一致的，因為他們對應(yīng)相同的零極點的數(shù)字補償器，工具計算結(jié)果非常準確，如圖22所示。

圖23 選擇實施Kuc增益系數(shù)

點擊實施Kuc增益系數(shù)后，如圖23所示，可見B系數(shù)被乘以Kuc了，A系數(shù)保持不變，此處DCDT計算出來的Kuc和我們前面部分手動計算的結(jié)果12.89一致，當然也可以在補償器Kdc中輸入這個值，也可以得到相應(yīng)的改進后的B系數(shù)，如圖24所示。

圖24 直接采用Kdc引入Kuc增益

圖25 實施系數(shù)歸一化

點擊實施歸一化后，可見A,B系數(shù)都經(jīng)過縮放后變到-1-0.9999694864219之間的數(shù)據(jù)，且經(jīng)過一個放大系數(shù)G2使得最大的值變?yōu)榻咏?/span>0.9999的值，此處DCDT顯示出它經(jīng)過了5位移位，最大系數(shù)數(shù)據(jù)為28.49，則調(diào)整系數(shù)1/G2為29181對應(yīng)的Q15小數(shù)，如圖25所示。

圖26 模擬和數(shù)字化后的補償器增益曲線

圖27 模擬和數(shù)字化后的補償器相位曲線

由圖26，27所示，可見模擬補償器和數(shù)字補償器在100k以上有較大的不一致，但是100k以下基本重合，藍色為雙線性變換后的數(shù)字化補償器，紅色為模擬補償器。

圖28 模擬和數(shù)字化的loop增益曲線

圖29 模擬和數(shù)字化的loop相位曲線

由上述環(huán)路增益和相位曲線來看，圖28，29所示，在低頻和中頻段數(shù)字化增益和相位和模擬的增益和相位曲線較一致，但是高頻下數(shù)字化曲線（黑色）有一定的下掉，這是因為數(shù)字化過程對系統(tǒng)造成一定的相位損失。

圖30 數(shù)字補償器和對應(yīng)的Q15格式數(shù)字

圖31 最終的數(shù)字補償器AB系數(shù)

圖32 DCDT工具的作用說明

總結(jié)，通過分析MCU內(nèi)部對實數(shù)的處理方式，重點討論了Q15的定標方式，然后分析了數(shù)字化過程中方便MCU處理所做的一系列的縮放及系數(shù)變化措施，最后通過實際計算和DCDT工具計算得到一致的結(jié)果，這個結(jié)果就可以在MCU中結(jié)合數(shù)字補償器的庫函數(shù)進行運算。

事實上，用戶只要能夠理解如何設(shè)置系統(tǒng)零極點頻率，DCDT就可以幫助產(chǎn)生相應(yīng)的z傳遞函數(shù)的系數(shù)，及對應(yīng)的Q15格式數(shù)據(jù)，在dsPIC33中去用SMPS控制庫執(zhí)行補償器，如圖32所示。以上對理解數(shù)字補償器的數(shù)學變化過程有一定的幫助。