信道估計與均衡中的MMSE模型

什么是MMSE模型？

MMSE是一種最小化接收數(shù)據(jù)的均方誤差(MSE)的模型。有了這個簡單的陳述，很多問題就會在你的腦海中跳出來。

什么是均方誤差?最小化MSE的物理意義是什么?等等。

讓我們從一個我們現(xiàn)在已經(jīng)很熟悉的信道模型開始。(我希望你現(xiàn)在也熟悉了下面的表達(dá)方式。)

MMSE是一種作為均衡器的后處理算法，它可以幫助我們計算出的接收數(shù)據(jù)盡可能接近原始數(shù)據(jù)(傳輸數(shù)據(jù))。簡而言之，MMSE中最重要的步驟是在下圖中找到矩陣G。如果我們假設(shè)沒有噪聲，這個[G]矩陣可以簡單地認(rèn)為是信道矩陣的逆(H^-1)。但是當(dāng)有噪聲時，我們需要使用一些能反映噪聲的模型。MMSE就是其中一種算法。

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如何求解矩陣G？

現(xiàn)在我們設(shè)定一個目標(biāo)意味著我們有一個目標(biāo)函數(shù)要解。然后，我們需要找出如何求解目標(biāo)函數(shù)。有幾種不同的方法可以解決這個問題。我將采取的方法是解下列方程。

當(dāng)我第一次學(xué)習(xí)這個方程時，我的第一個問題是這個方程的意義是什么。如果您更仔細(xì)地觀察它，您就會意識到這些方程表示了一個特定的條件，即接收的數(shù)據(jù)向量和錯誤向量之間沒有相關(guān)性。

我的下一個問題是“這個特定的條件如何成為使誤差的MSE最小化的條件?”簡而言之，“這如何成為MSE的條件?”

下面是一位FPGA工程師的評論，他教我物理層的各種主題。第一次讀的時候可能聽起來不是很清楚，但是再仔細(xì)想想就會明白了。

在MMSE中，矩陣G應(yīng)是利用接收信號的統(tǒng)計特性使MSE最小化的矩陣。如果y和e之間還存在一定的相關(guān)性，應(yīng)該可以利用這種相關(guān)性來降低e的范數(shù)。所以在最優(yōu)點，y和e之間應(yīng)該沒有相關(guān)性。(如果不是，我們應(yīng)該能夠利用相關(guān)性進(jìn)一步降低e的范數(shù)。)

這就是為什么我們可以通過使用要求接收信號y和誤差e之間的相關(guān)性為零的準(zhǔn)則來推導(dǎo)MMSE最優(yōu)矩陣G的原因。

一旦你得到了要解決的對象方程，并理解了它的物理(或統(tǒng)計)意義，剩下的步驟就只是高等數(shù)學(xué)了。我給你的一個建議是“在你找到最終解決方案之前，不要過多考慮解決過程的物理意義”。大多數(shù)中間步驟是純粹的數(shù)學(xué)操作，在大多數(shù)情況下沒有特定的物理意義。當(dāng)然，在某些情況下，我們需要考慮物理意義，例如在解決過程中刪除一些術(shù)語時。但在大多數(shù)情況下，這個解的過程只是數(shù)學(xué)操作。

首先，您可以展開給出的對象方程，如下面的過程所示。不要害怕，拿出一張紙和一支筆，用手寫下每一步。你會發(fā)現(xiàn)這是真正的高等數(shù)學(xué)。

現(xiàn)在我們有矩陣[G]用E{}的兩塊表示。讓我們進(jìn)一步展開這些方塊。然后你可能會問，為什么要做更多的擴(kuò)張?為什么我們不能用這個結(jié)果作為解決方案?要用它作為解，你需要知道方程中的所有值。

讓我們檢查一下這個(上面最后一行)中的每一項，并檢查我們是否知道所有的值。

我們能知道[y]向量嗎?是的，因為它是第一次被接收機(jī)物理檢測/測量的值。

那么[x]向量呢?它發(fā)送數(shù)據(jù)。如果這個發(fā)送的數(shù)據(jù)是一個參考信號，我們可以說我們知道這個值，但如果它是用戶數(shù)據(jù)，我們不知道這個值。

現(xiàn)在讓我們逐個展開E{}塊。讓我先試試第二個E{}塊。(沒有具體的原因，我為什么要首先展開第二個區(qū)塊。我就這么做了:)。在這個過程中，您可以看到一些術(shù)語(用顏色標(biāo)記)被刪除了，并被其他更簡單的形式取代。這是基于術(shù)語的物理性質(zhì)。對于如何刪除或替換這些項，沒有純粹的數(shù)學(xué)原因。

現(xiàn)在我們有了由已知值組成的表達(dá)式。[H]為信道矩陣。我們假設(shè)在信道估計過程中我們已經(jīng)計算出了這個矩陣。我們知道P，因為我們決定了發(fā)送功率。那么“噪聲方差”呢?我們不可能知道每一個接收到的數(shù)據(jù)中添加的確切的噪聲值，但我們可以計算出噪聲的長期統(tǒng)計特性?！?strong>噪聲方差”是噪聲的一種長期統(tǒng)計特性。

接下來，讓我們展開第一個E{}塊。它可以展開如下所示。在這個過程中，您還可以看到一些術(shù)語(用顏色標(biāo)記)被刪除，并被其他更簡單的形式取代。這是基于術(shù)語的物理性質(zhì)。

現(xiàn)在我們有了兩個E{}塊的展開式，讓我們用展開式重寫[G]矩陣，它變成：

現(xiàn)在你看到整個[G]矩陣本身用所有已知的值表示。在實際的DSP或FPGA中，要解決這個表達(dá)式，你可能需要進(jìn)一步的操作(例如，矩陣分解)，但僅僅為了理解MMSE的概念，這就足夠了。

在這一點上，一個大問題是，即使你遵循這個漫長/枯燥的數(shù)學(xué)過程，“為了推出G，我們得出結(jié)論，我們需要知道信道矩陣H，我們怎么知道它?”這就是你需要研究的另一個復(fù)雜而無聊的話題，叫做“信道估計（參見：Communication - Channel Estimation）”。

注意：根據(jù)系統(tǒng)的執(zhí)行情況，上述方程中H的解釋略有不同。如果我們假設(shè)一個不做任何放大或預(yù)編碼的系統(tǒng)，H僅代表這里（LTE Basic Procedure）所示的空間信道上的特性。但如果我們假設(shè)一個更現(xiàn)實的實現(xiàn)，執(zhí)行一些預(yù)編碼和放大，H表示一個矩陣，包括預(yù)編碼和放大的屬性。在這種情況下，數(shù)學(xué)上的H可以表示為“Amp * H * P”，其中Amp是放大，H是空間信道矩陣，P是預(yù)編碼矩陣。

如果你有興趣獲得一些MMSE實現(xiàn)的例子，請參閱（MMSE (Minimum Mean Square Error)-Matlab）。張貼了一些MMSE均衡的Matlab例子。

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MMSE應(yīng)用

接收機(jī)鏈路處理

MMSE基線

MMSE IRC

怎么樣，MMSE看懂了嗎？如果沒看懂，就多看幾遍。同時，把《線性代數(shù)》、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》、《隨機(jī)過程》、《現(xiàn)代信號處理》、《高等數(shù)學(xué)》、《通信原理》等教材翻一翻，推導(dǎo)一遍。然后用FPGA將算法通過HDL語言實現(xiàn)，封裝成IP，沿街叫賣，發(fā)家致富。我們的目標(biāo)是：迎娶白富美，走上人生巔峰。