信道估計(jì)與均衡中的MMSE模型

什么是MMSE模型？

MMSE是一種最小化接收數(shù)據(jù)的均方誤差(MSE)的模型。有了這個(gè)簡單的陳述，很多問題就會(huì)在你的腦海中跳出來。

什么是均方誤差?最小化MSE的物理意義是什么?等等。

讓我們從一個(gè)我們現(xiàn)在已經(jīng)很熟悉的信道模型開始。(我希望你現(xiàn)在也熟悉了下面的表達(dá)方式。)

MMSE是一種作為均衡器的后處理算法，它可以幫助我們計(jì)算出的接收數(shù)據(jù)盡可能接近原始數(shù)據(jù)(傳輸數(shù)據(jù))。簡而言之，MMSE中最重要的步驟是在下圖中找到矩陣G。如果我們假設(shè)沒有噪聲，這個(gè)[G]矩陣可以簡單地認(rèn)為是信道矩陣的逆(H^-1)。但是當(dāng)有噪聲時(shí)，我們需要使用一些能反映噪聲的模型。MMSE就是其中一種算法。

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如何求解矩陣G？

現(xiàn)在我們?cè)O(shè)定一個(gè)目標(biāo)意味著我們有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)要解。然后，我們需要找出如何求解目標(biāo)函數(shù)。有幾種不同的方法可以解決這個(gè)問題。我將采取的方法是解下列方程。

當(dāng)我第一次學(xué)習(xí)這個(gè)方程時(shí)，我的第一個(gè)問題是這個(gè)方程的意義是什么。如果您更仔細(xì)地觀察它，您就會(huì)意識(shí)到這些方程表示了一個(gè)特定的條件，即接收的數(shù)據(jù)向量和錯(cuò)誤向量之間沒有相關(guān)性。

我的下一個(gè)問題是“這個(gè)特定的條件如何成為使誤差的MSE最小化的條件?”簡而言之，“這如何成為MSE的條件?”

下面是一位FPGA工程師的評(píng)論，他教我物理層的各種主題。第一次讀的時(shí)候可能聽起來不是很清楚，但是再仔細(xì)想想就會(huì)明白了。

在MMSE中，矩陣G應(yīng)是利用接收信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性使MSE最小化的矩陣。如果y和e之間還存在一定的相關(guān)性，應(yīng)該可以利用這種相關(guān)性來降低e的范數(shù)。所以在最優(yōu)點(diǎn)，y和e之間應(yīng)該沒有相關(guān)性。(如果不是，我們應(yīng)該能夠利用相關(guān)性進(jìn)一步降低e的范數(shù)。)

這就是為什么我們可以通過使用要求接收信號(hào)y和誤差e之間的相關(guān)性為零的準(zhǔn)則來推導(dǎo)MMSE最優(yōu)矩陣G的原因。

一旦你得到了要解決的對(duì)象方程，并理解了它的物理(或統(tǒng)計(jì))意義，剩下的步驟就只是高等數(shù)學(xué)了。我給你的一個(gè)建議是“在你找到最終解決方案之前，不要過多考慮解決過程的物理意義”。大多數(shù)中間步驟是純粹的數(shù)學(xué)操作，在大多數(shù)情況下沒有特定的物理意義。當(dāng)然，在某些情況下，我們需要考慮物理意義，例如在解決過程中刪除一些術(shù)語時(shí)。但在大多數(shù)情況下，這個(gè)解的過程只是數(shù)學(xué)操作。

首先，您可以展開給出的對(duì)象方程，如下面的過程所示。不要害怕，拿出一張紙和一支筆，用手寫下每一步。你會(huì)發(fā)現(xiàn)這是真正的高等數(shù)學(xué)。

現(xiàn)在我們有矩陣[G]用E{}的兩塊表示。讓我們進(jìn)一步展開這些方塊。然后你可能會(huì)問，為什么要做更多的擴(kuò)張?為什么我們不能用這個(gè)結(jié)果作為解決方案?要用它作為解，你需要知道方程中的所有值。

讓我們檢查一下這個(gè)(上面最后一行)中的每一項(xiàng)，并檢查我們是否知道所有的值。

我們能知道[y]向量嗎?是的，因?yàn)樗堑谝淮伪唤邮諜C(jī)物理檢測/測量的值。

那么[x]向量呢?它發(fā)送數(shù)據(jù)。如果這個(gè)發(fā)送的數(shù)據(jù)是一個(gè)參考信號(hào)，我們可以說我們知道這個(gè)值，但如果它是用戶數(shù)據(jù)，我們不知道這個(gè)值。

現(xiàn)在讓我們逐個(gè)展開E{}塊。讓我先試試第二個(gè)E{}塊。(沒有具體的原因，我為什么要首先展開第二個(gè)區(qū)塊。我就這么做了:)。在這個(gè)過程中，您可以看到一些術(shù)語(用顏色標(biāo)記)被刪除了，并被其他更簡單的形式取代。這是基于術(shù)語的物理性質(zhì)。對(duì)于如何刪除或替換這些項(xiàng)，沒有純粹的數(shù)學(xué)原因。

現(xiàn)在我們有了由已知值組成的表達(dá)式。[H]為信道矩陣。我們假設(shè)在信道估計(jì)過程中我們已經(jīng)計(jì)算出了這個(gè)矩陣。我們知道P，因?yàn)槲覀儧Q定了發(fā)送功率。那么“噪聲方差”呢?我們不可能知道每一個(gè)接收到的數(shù)據(jù)中添加的確切的噪聲值，但我們可以計(jì)算出噪聲的長期統(tǒng)計(jì)特性?！?strong>噪聲方差”是噪聲的一種長期統(tǒng)計(jì)特性。

接下來，讓我們展開第一個(gè)E{}塊。它可以展開如下所示。在這個(gè)過程中，您還可以看到一些術(shù)語(用顏色標(biāo)記)被刪除，并被其他更簡單的形式取代。這是基于術(shù)語的物理性質(zhì)。

現(xiàn)在我們有了兩個(gè)E{}塊的展開式，讓我們用展開式重寫[G]矩陣，它變成：

現(xiàn)在你看到整個(gè)[G]矩陣本身用所有已知的值表示。在實(shí)際的DSP或FPGA中，要解決這個(gè)表達(dá)式，你可能需要進(jìn)一步的操作(例如，矩陣分解)，但僅僅為了理解MMSE的概念，這就足夠了。

在這一點(diǎn)上，一個(gè)大問題是，即使你遵循這個(gè)漫長/枯燥的數(shù)學(xué)過程，“為了推出G，我們得出結(jié)論，我們需要知道信道矩陣H，我們?cè)趺粗浪?”這就是你需要研究的另一個(gè)復(fù)雜而無聊的話題，叫做“信道估計(jì)（參見：Communication - Channel Estimation）”。

注意：根據(jù)系統(tǒng)的執(zhí)行情況，上述方程中H的解釋略有不同。如果我們假設(shè)一個(gè)不做任何放大或預(yù)編碼的系統(tǒng)，H僅代表這里（LTE Basic Procedure）所示的空間信道上的特性。但如果我們假設(shè)一個(gè)更現(xiàn)實(shí)的實(shí)現(xiàn)，執(zhí)行一些預(yù)編碼和放大，H表示一個(gè)矩陣，包括預(yù)編碼和放大的屬性。在這種情況下，數(shù)學(xué)上的H可以表示為“Amp * H * P”，其中Amp是放大，H是空間信道矩陣，P是預(yù)編碼矩陣。

如果你有興趣獲得一些MMSE實(shí)現(xiàn)的例子，請(qǐng)參閱（MMSE (Minimum Mean Square Error)-Matlab）。張貼了一些MMSE均衡的Matlab例子。

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MMSE應(yīng)用

接收機(jī)鏈路處理

MMSE基線

MMSE IRC

怎么樣，MMSE看懂了嗎？如果沒看懂，就多看幾遍。同時(shí)，把《線性代數(shù)》、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》、《隨機(jī)過程》、《現(xiàn)代信號(hào)處理》、《高等數(shù)學(xué)》、《通信原理》等教材翻一翻，推導(dǎo)一遍。然后用FPGA將算法通過HDL語言實(shí)現(xiàn)，封裝成IP，沿街叫賣，發(fā)家致富。我們的目標(biāo)是：迎娶白富美，走上人生巔峰。