倒立擺是日常生活中許多重心在上、支點(diǎn)在下的控制問題的抽象模型，本身是一種自然不穩(wěn)定體，它在控制過程中能有效地反映控制中許多抽象而關(guān)鍵的問題，如系統(tǒng)的非線性、可控性、魯棒性等問題。對倒立擺系統(tǒng)的控制就是使小車以及擺桿盡快地達(dá)到預(yù)期的平衡位置，而且還要使它們不會(huì)有太強(qiáng)的振蕩幅度、速度以及角速度，當(dāng)?shù)沽[系統(tǒng)達(dá)到期望位置后，系統(tǒng)能克服一定范圍的擾動(dòng)而保持平衡。作為一種控制裝置，它具有形象直觀、結(jié)構(gòu)簡單、便于模擬實(shí)現(xiàn)多種不同控制方法的特點(diǎn)，作為一個(gè)被控對象它是一個(gè)高階次、非線性、多變量、強(qiáng)耦合、不穩(wěn)定的快速系統(tǒng)，只有采取行之有效的方法才能使它的穩(wěn)定效果明了，因此對倒立擺的研究也成為控制理論中經(jīng)久不衰的研究課題。

　　1 一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

　　對于倒立擺系統(tǒng)來說，如果忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成沿著光滑導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)的小車和通過軸承連接的勻質(zhì)擺桿組成，如圖1所示。其中，小車的質(zhì)量M=1.32 kg，擺桿質(zhì)量m=0.07 kg，擺桿質(zhì)心到轉(zhuǎn)動(dòng)軸心距離l=0.2 m，擺桿與垂直向下方向的夾角為θ，小車滑動(dòng)摩擦系數(shù)，fc=0.1。

　　倒立擺控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立方法一般有利用牛頓力學(xué)的分析方法和分析力學(xué)中的拉格朗日方程建模兩種。本文采用的是拉格朗日方程建模。

　　一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的拉格朗日方程應(yīng)為：

　　式中：L是拉格朗日算子;V是系統(tǒng)動(dòng)能;G是系統(tǒng)勢能。

　　式中：D是系統(tǒng)耗散能;fi為系統(tǒng)在第i個(gè)廣義坐標(biāo)上的外力。

　　一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的總動(dòng)能為：

　　一級(jí)倒立擺系統(tǒng)有4個(gè)狀態(tài)變量，分別是

　　，根據(jù)式(7)寫出系統(tǒng)狀態(tài)方程，并在平衡點(diǎn)處進(jìn)行線性化處理，得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型如下：

　　2 倒立擺性能分析

　　系統(tǒng)的能控性是控制器設(shè)計(jì)的前提，所以在設(shè)計(jì)前對系統(tǒng)進(jìn)行能控性分析，根據(jù)能控性矩陣T0=[B，AB，A2B，A3B]，利用Matlab中的rank命令，可以得出rank(T0)=4。由此可知，系統(tǒng)是完全可控的，因此可以對系統(tǒng)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)，使系統(tǒng)穩(wěn)定。

　　3 LQR控制器的設(shè)計(jì)

　　3.1 LQR控制器原理

　　線性二次型調(diào)節(jié)器的控制對象是線性系統(tǒng)，這個(gè)線性系統(tǒng)必須是狀態(tài)空間的形式，即：

　　，Y=Cx+Du。通過確定最佳控制量U*=R-1BTPX=-KX的矩陣K，使性能指標(biāo)

　　的值極小。其中，加權(quán)矩陣Q和R是用來平衡狀態(tài)變量和輸入變量的權(quán)重;P是Riccati方程的解。這時(shí)求解Riccati代數(shù)方程：

　　就可獲得P值以及最優(yōu)反饋增益矩陣K值：

　　LQR用于單級(jí)擺的原理圖如圖2所示。